第3章　线性方程组

一、计算题

1．设

试就a，b的各种取值情况，讨论非齐次方程组AX＝B的解，如有解，并求出解．[清华大学研]

解：因为系数行列式∣A∣＝a（a－b），所以

（1）当a≠0，且b≠a时，方程组有唯一解x₁＝（a－1）/a，x₂＝1/a，x₃＝0

（2）当a＝0时，原方程组无解．

（3）当a＝b≠0时，原方程组有无穷多解，其通解为

其中k为任意常数．

2．设

试讨论p，t取什么值时，方程组有解或无解，并在有解时，求其全部解．[清华大学研]

解：计算如下

（1）当t≠－2时，原方程组无解．

（2）当t＝－2时．

①当p＝－8时，原方程组有无穷多个解，其通解为

其中k₁，k₂为任意常数．

②当p≠－8时，原方程组也有无穷多个解，其通解为

其中k为任意常数．

3．设向量α₁＝[－1，2，0，4]，α₂＝（5，0，3，1），α₃＝（3，－1，4，－2），α₄＝（－2，4，－5，9），α₅＝（1，3，－1，7）

（1）求向量组α₁，α₂，α₃，α₄，α₅的秩；

（2）求向量组α₁，α₂，α₃，α₄，α₅的一个极大线性无关组；

（3）将向量组α₁，α₂，α₃，α₄，α₅中其余向量表为极大线性无关组的线性组合．[南京大学研]

解：（1）将α₁，α₂，α₃，α₄，α₅按行排成5×4矩阵，并对其作初等行变换，有

故向量组α₁，α₂，α₃，α₄，α₅的秩为3．

（2）由上述得知α₁，α₂，α₅为向量组α₁，α₂，α₃，α₄，α₅的极大线性无关组．

（3）由初等变换过程易知：α₃＝α₁＋α₂－α₅，α₄＝－α₁－α₂＋2α₅

4．把实数域R看成有理数域Q上的线性空间，b＝p3q2r，这里的P，q，r∈Q是互不相同的素数．判断向量组是否线性相关？说明理由．[北京大学研]

解：向量组是线性无关的，可用数学归纳法证之．

当n＝1时，结论显然成立；假设结论对于n－1成立，下证对于n结论也正确．

为此，设有k₁，k₂，k₃，…，k_n，k∈Q，使得

若k_n≠0，则有

这是不可能的．

若k_n＝0，则有

根据归纳假设，知k₁＝k₂＝…＝k_n－1＝0故向量组是线性无关的．这就证得：对于任意正整数n，结论均成立．

5．设A，B是数域K上的n阶方阵，X是未知量x₁，x₂，…x_n所构成的n×1矩阵．已知齐次线性方程组AX＝0和BX＝0分别有l，m个线性无关的解向量，这里l≥0，m≥0．证明：

（1）方程组[AB]X＝0至少有max[l，m]个线性无关的解向量；

（2）如果l＋m＞n，那么（A＋B）X＝0必有非零解；

（3）如果AX＝0和BX＝0无公共的非零解向量，且l＋m＝n，那么Kn中任一向量α都可唯一地表示成α＝β ＋γ，这里β，γ分别是AX＝0和BX＝0的解向量．[武汉大学研]

解：（1）由题设，l≤n－rank（A），m≤n－rank（B），而rank（AB）≤min（rank A， rank B]，所以另一方面，方程组[AB]x＝0有n－rank（AB）个线性无关的解向量．故所证结论成立．

（2）因l＋m＞n，所以rank（A＋B）≤rank（A）＋rank（B）≤（n－l）＋（n－m）＜n，因此齐次方程组（A＋B）X＝0必有非零解．

（3）设AX＝0和BX＝0的解空间分别为V₁和V₂，则

dimV₁≥l，dimV₂≥m．据题设，V₁∩V₂＝∣0∣，所以V₁与V₂的和是直和，故

dim（V₁＋V₂）＝dimV₁＋dimV₂≥l＋m＝n＝dimKn

又dim（V₁＋V₂）≤dimKn，所以

dim（V₁＋V₂）＝dimKn．从而有Kn＝V₁⊕V₂所证结论成立．

6．解方程组

[上海交通大学研]

解：利用

可得方程组系数行列式

由克莱姆法则知，原方程组有唯一解．又显见方程组常数项组成的列（2，2，…，2）′换系数行列式D的第：列得：D₁＝2D，D_i＝0（i＝2，…，n），故方程组解为（2，0，…，0）′

7．设ω是复数域C上的本原n次单位根（即ωn＝1，而当0＜l＜n时ωl≠1），s，b都是正整数，而且s＜n，令

任取β∈Cs判断线性方程组AX＝β有无解，有多少解，写出理由．[北京大学研]

解：A是一个s×n矩阵，其前s列组成的子式

为一范德蒙行列式．

因s＜n，所以ωb，ωb＋1，…，ωb＋s－1互不相同，从而∣A₁∣≠0．这样立知r（A）＝s．所以对方程组AX＝β有r（A）＝r（A∣β）＝s＜n，说明对∀β，AX＝β有无穷多解．

二、证明题

1．设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，向量组α₂，α₃，α₄线性相关，试证：α₁不能由α₂，α₃，α₄线性表示．[同济大学研]

证明：用反证法，若α₁可以由α₂，α₃，α₄线性表示，即

α₁＝k₂α₂＋k₃α₃＋k₄α₄①

则k₄≠0 [否则若k₄＝0．则由①知α₁，α₂，α₃线性相关，矛盾]．由①可解得

　②

再由α₂，α₃，α₄线性相关，存在不全为零的秩l₂，l₃，l₄使

l₂α₂＋l₃α₃＋l₄α₄＝0③

类似可证l₄≠0[否则α₂，α₃线性相关，这与α₁，α₂，α₃线性无关矛盾]．由③解得

　④

但α₁，α₂，α₃线性无关，表示法唯一，由②，④可得1/k₄＝0，矛盾，即证α₁不能由α₂，α₃，α₄线性表示．

2．已知m个向量α₁，α₂，…，α_m线性相关，但其中任意m－1个都线性无关，证明：

（1）如果等式k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_mα_m＝0，则这些k₁，k₂，…，k_m或者全为0，或者全不为0；

（2）如果存在两个等式

k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_mα_m＝0①

l₁α₁＋l₂α₂＋…＋l_mα_m＝0②

其中l₁≠0．则k₁/l₁＝k₂/l₂＝…＝k_m/l_m③[清华大学研]

证明：（1）若k₁＝k₂＝…＝k_m＝0，则证毕．否则总有一个k不等于0，不失一般设k₁≠0那么其余的k_i都不能等于0，否则有k_i＝0．即，其中k₁≠0，这与任意m－1个都线性无关的假设矛盾，从而得证k₁，k₂，…，k_m全不为0．

（2）由于l₁≠0，由上面（1）知，l₁，l₂，…，l_m全不为0．再看k如果k₁＝…＝k_m＝0．则③式成立．若k₁，…，k_m全不为0，则由l₁×①－k₁×②得

（l₁l₂－k₁k₂）α₁＋（l₁k₃－k₁l₃）α₃＋…＋（l_lk_m－k_ll_m）α_m＝0

所以0＝l₁k₂－k₁l₂＝…＝l₁k_m－l_mk_m⇒k₁/l₁＝k₂/l₂＝…＝k_m/l_m