第2章　行列式

一、填空题

设A*是3阶方阵A的伴随阵，∣A∣＝－1/2，则∣A－1－2A*∣＝______．［华东师范大学研］

【答案】－16

【解析】因为∣A∣·∣A－1－2A*∣＝∣AA－1－2AA*∣＝∣E－2∣A∣E∣＝∣2E∣＝23，所以

二、计算题

1．计算n阶行列式

[武汉大学研]

解：利用行列式的性质，对原n阶行列式进行化简，得以下（n＋1）阶行列式

2．计算n阶行列式

[上海交通大学研]

解：将D_n按第n列拆分得

对如上第一个行列式r_i－1－r_i（i＝n，n－1，…，2），第2个行列式按第n列展开得

又D₂＝a₀a₁＋a₀a₂＋a₁a₂，故

D_n＝a₀a₁…a_n－1＋a₀a₁…a_n－2a_n＋…＋a₁a₂a₃…a_n

3．设，又A_ij为A中的（i，j）元素在∣A∣中的代数余子式，试求．［南开大学研］

解：解法1：因为

所以A可逆．又

所以

即

从而

解法2：同解法1，∣A∣＝－16，又因为

所以

从而

4．计算n阶行列式

其中x＝yz．[武汉大学研]

解：按第1行展开得

　①

由①式得D_n＝D_n－1＋xn＝（D_n－2＋xn－1）＋xn＝…＝（D₂＋x3）＋x4＋…＋xn－1＋xn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1＋xn。

三、证明题

若n阶方阵A与B只是第j列不同，试证21－n∣A＋B∣＝∣A∣＋∣B∣．[北京航空航天大学、华中师范大学研]

证明：设

则

于是

所以∣A∣＋∣B∣＝21－n∣A＋B∣．