第4章 生产论
一、名词解释
1．里昂惕夫生产函数（北京邮电大学2012研）
答：里昂惕夫生产函数又称固定投入比例的生产函数，表示在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的。假定生产过程中只使用劳动和资本两种要素，则固定投入比例生产函数的通常形式为：
式中，Q为产量；L和K分别为劳动和资本的投入量；常数u、v＞0，分别为固定的劳动和资本的生产技术系数，它们分别表示生产一单位产品所需要的固定的劳动投入量和固定的资本投入量。里昂惕夫生产函数表示：产量Q取决于L/u和K/v这两个比值中较小的那一个，即使其中的一个比例数值较大，那也不会提高产量Q。里昂惕夫生产函数可用图4-1予以描述。
图4-1 里昂惕夫生产函数
图4-1中，从原点出发经过a、b和c点的射线OR表示了这一固定投入比例生产函数的所有产量水平的最小要素投入量的组合。
2．柯布―道格拉斯函数（复旦大学2000研；厦门大学2004研）
答：柯布―道格拉斯生产函数是由数学家柯布和经济学家道格拉斯于20世纪30年代初一起提出来的。柯布―道格拉斯生产函数是新古典模型的典型代表函数，其一般形式为：Q＝ALαKβ。式中，Q为产量；L和K分别为劳动和资本投入量；A、α和β为三个参数，0＜α、β＜1。
参数α和β的经济含义是：当α＋β＝1时，α和β分别表示劳动和资本在生产过程中的相对重要性，α为劳动所得在总产量中所占的份额，β为资本所得在总产量中所占的份额。
根据柯布―道格拉斯生产函数中的参数α与β之和，还可以判断规模报酬的情况。若α＋β＞1，则为规模报酬递增；若α＋β＝1，则为规模报酬不变；若α＋β＜1，则为规模报酬递减。
3．边际报酬递减规律（武汉大学2001、2004研；北京理工大学2003研；厦门大学2003、2006、2010研；中南大学2004研；中国政法大学2005研；中国人民大学2006研；中国青年政治学院2009研）
答：在技术水平不变的条件下，在连续等量地把某一种可变生产要素增加到其他一种或几种数量不变的生产要素上去的过程中，当这种可变生产要素的投入量小于某一特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递增的；当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递减的。这就是边际报酬递减规律。
从理论上讲，边际报酬递减规律成立的原因在于：对于任何产品的短期生产来说，可变要素投入和固定要素投入之间都存在着一个最佳的数量组合比例。一旦生产要素的投入量达到最佳的组合比例时，可变要素的边际产量达到最大值。在这一点之后，随着可变要素投入量的继续增加，生产要素的投入量越来越偏离最佳的组合比例，相应的可变要素的边际产量便呈现出递减的趋势了。
边际报酬递减规律强调的是：在任何一种产品的短期生产中，随着一种可变要素投入量的增加，边际产量最终必然会呈现出递减的特征。
4．边际技术替代率（青岛大学2001研；复旦大学2001、2002研；辽宁大学2002研；中国海洋大学2002研；厦门大学2003研；上海理工大学2003研；南京财经大学2004研；江西财经大学2004研；财政部财政科学研究所2004、2008研；北京师范大学2006研；华中科技大学2007、2008研；武汉大学2011研；湖南大学2012研）
答：在维持产量水平不变的条件下，增加一单位某种生产要素投入量时所减少的另一种要素的投入数量，被称为边际技术替代率，其英文缩写为MRTS。用
K和L分别表示资本投入量的变化量和劳动投入量的变化量，则劳动对资本的边际技术替代率的公式为：
或
生产要素相互替代的过程中存在边际技术替代率递减规律，即在维持产量不变的前提下，当一种生产要素的投入量不断增加时，每一单位的这种生产要素所能替代的另一种生产要素的数量是递减的。边际技术替代率递减的主要原因在于：任何一种产品的生产技术都要求各要素投入之间有适当的比例，这意味着要素之间的替代是有限制的。
5．等成本线（山东大学2002研）
答：等成本线是在既定的成本和既定生产要素价格条件下生产者可以购买到的两种生产要素的各种不同数量组合的轨迹。假定要素市场上既定的劳动的价格即工资率为w，既定的资本的价格即利息率为r，厂商既定的成本支出为C，则成本方程为：C＝wL＋rK。
成本方程相对应的等成本线如图4-2所示。
图4-2 等成本线
图4-2中，横轴上的点C/w表示既定的全部成本都购买劳动时的数量，纵轴上的点C/r表示既定的全部成本都购买资本时的数量，连接这两点的线段就是等成本线。它表示既定的全部成本所能购买到劳动和资本数量的各种组合。
6．扩展线（中南大学2003研；江西财经大学2005、2007研；对外经济贸易大学2013研）
答：在生产要素的价格、生产技术和其他条件不变时，如果企业改变成本，等成本线就会发生平移；如果企业改变产量，等产量曲线就会发生平移。这些不同的等产量曲线将与不同的等成本线相切，形成一系列不同的生产均衡点。这些生产均衡点的轨迹就是扩展线。如图4-3所示。
图4-3 扩展线
图4-3中的曲线ON是一条扩展线。由于生产要素的价格保持不变，两要素的价格比例是固定的，又由于生产均衡的条件为两要素的边际技术替代率等于两要素的价格比例，所以，在扩展线上的所有的生产均衡点上边际技术替代率都是相等的。这意味着，扩展线一定是一条等斜线。
扩展线表示：在生产要素价格、生产技术和其他条件不变的情况下，当生产的成本或产量发生变化时，厂商必然会沿着扩展线来选择最优的生产要素组合，从而实现既定成本条件下的最大产量，或实现既定产量条件下的最小成本。扩展线是厂商在长期的扩张或收缩生产时所必须遵循的路线。
7．规模报酬（中南财经政法大学2000研；北京师范大学2001研；中央财经大学2005研；湖南大学2006研）
答：规模报酬是指在其他条件不变的情况下，企业内部各种生产要素按相同比例变化时所带来的产量变化。规模报酬分析的是企业的生产规模变化与所引起的产量变化之间的关系。企业只有在长期内才可能变动全部生产要素，进而变动生产规模，因此，企业的规模报酬分析属于长期生产理论问题。
企业的规模报酬变化可以分为规模报酬递增、规模报酬不变和规模报酬递减三种情况。其中，产量增加的比例大于各种生产要素增加的比例，称之为规模报酬递增；产量增加的比例等于各种生产要素增加的比例，称之为规模报酬不变；产量增加的比例小于各种生产要素增加的比例，称之为规模报酬递减。
一般说来，在长期生产过程中，企业的规模报酬的变化呈现出如下的规律：当企业从最初的很小的生产规模开始逐步扩大的时候，企业面临的是规模报酬递增的阶段。在企业得到了由生产规模扩大所带来的产量递增的全部好处以后，一般会继续扩大生产规模，将生产保持在规模报酬不变的阶段，这个阶段有可能比较长。在这以后，企业若继续扩大生产规模，就会进入一个规模报酬递减的阶段。
二、简答题
1．简述企业的本质。（中国政法大学2005研）
答：传统的微观经济学理论把厂商的生产过程看成是一个“黑匣子”，即企业被抽象成一个由投入到产出的追求利润最大化的“黑匣子”。至于企业本身的性质是什么，则是一个被忽略的问题。美国经济学家科斯在1937年发表的《企业的性质》一文，被认为是对这一问题进行探讨的开端。
科斯在《企业的性质》中提出了“交易成本”概念。在科斯看来，企业和市场是两种不同的资源配置方式。在企业内是“权威”指导资源的配置，而在市场上则是价格配置资源。市场的运行是有成本的，通过形成一个组织，并允许某个权威（一个“企业家”）来支配资源，就能节约某些市场运行成本，即企业的性质就是价格机制的替代物。
科斯的理论及后来在此基础上发展起来的交易费用理论因为秉承这一逻辑而受到很多的批评，其争议点是，以企业和市场这样的两分法来研究交易和组织，有些过于牵强和突兀。在张五常看来，企业取代市场并不十分确切，而应该说是一种契约形式取代另一种契约形式。后来的学者，如威廉姆森等，对此进行了深入的探讨。
可以说，从交易成本的角度来分析企业的性质，对于研究企业生产行为和企业组织形式有很大的启发作用。
2．试证明：劳动和资本的产出弹性为常数当且仅当生产函数具有Cobb-Dauglas的形式，即F（L，K）＝AKαLβ。（清华大学2004研）
证明：已知劳动的产出弹性
资本的产出弹性
（1）由F（L，K）＝AKαLβ可得：
所以
可知：当生产函数具有Cobb-Dauglas的形式时，劳动和资本的产出弹性为常数。
（2）设EL＝β，EK＝α，其中α，β均为常数。则有
即：
其中F（L，K）＝APLL＝APKK为生产函数。所以
即
解此二元微分方程可得：F（L，K）＝AKαLβ（A为常数）
综合（1）、（2），可得劳动和资本的产出弹性为常数当且仅当生产函数具有Cobb-Dauglas的形式，即F（L，K）＝AKαLβ。
3．一个企业主在考虑再雇用一名工人时，在劳动的平均产量和边际产量中他更关心哪一个？为什么？（复旦大学2000研；山东大学2003研）
答：一个企业主在考虑再雇用一名工人时，在劳动的平均产量和边际产量中，他更关心劳动的边际产量。
平均产量（APL）和边际产量（MPL）的关系如图4-4所示。从图4-4中可以看出，就平均产量APL和边际产量MPL来说，当MPL＞APL时，APL曲线是上升的；当MPL＜APL时，APL曲线是下降的；当MPL＝APL时，APL曲线达极大值。
图4-4 平均产量与边际产量的关系
一般来说，平均产量可以衡量劳动生产率，当企业主发现平均产量开始下降就不会再雇用更多工人。企业在决定工人的雇用时，总是将工人的边际产量和工人的边际成本进行比较，边际产量大于边际成本时，企业会选择雇用工人。所以，企业主在雇用工人时更关注边际产量。
4．假定收益递减规律永远成立，那么以下A、B、C、D四项叙述，各项分别是正确的还是错误的？为什么？
A．如果平均产量超过了边际产量，则平均产量一定上升。
B．如果边际产量等于平均产量，则平均产量一定达到最大。
C．当边际产量达到最大时，总产量也达到最大。
D．当总产量开始下降时，开始出现收益递减。（北京邮电大学2010研）
答：（1）A项叙述是错误的。理由如下：就边际产量和平均产量的关系而言，只要边际产量小于平均产量，边际产量就把平均产量拉下，即平均产量一定下降。
（2）B项叙述是正确的。理由如下：就平均产量和边际产量来说，当边际产量大于平均产量时，平均产量曲线是上升的；当边际产量小于平均产量时，平均产量曲线是下降的；当边际产量等于平均产量时，平均产量曲线达极大值。
（3）C项叙述是错误的。理由如下：只要边际产量是正的，总产量总是增加的；只要边际产量是负的，总产量总是减少的；当边际产量为零时，总产量达最大值点。
（4）D项叙述是错误的。理由如下：当边际产量开始下降时，开始出现收益递减。
5．生产的三个阶段是如何划分的？为什么生产者通常会选择在第二阶段生产？（山东大学2001、2008研；中国海洋大学2002研；上海财经大学2003研；东北财经大学2006研；云南大学2008研；东华大学2010研；南京财经大学2010研；暨南大学2011研；湖南大学2012研）
答：（1）短期生产的三个阶段是在假定生产技术水平和其他要素投入量不变，只有劳动投入可变的条件下，以劳动投入多少来划分的生产不同阶段。
具体而言，短期生产的三个阶段是根据总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线之间的关系来划分的。如图4-5所示：第Ⅰ阶段，平均产量递增阶段，即劳动平均产量始终是上升的，且达到最大值。这一阶段是从原点到APL、MPL两曲线的交点，即劳动投入量由0到L3的区间。第Ⅱ阶段，平均产量的递减阶段，边际产量仍然大于0，所以总产量仍然是递增的，直到总产量达到最高点。这一阶段是从APL、MPL两曲线的交点到MPL曲线与横轴的交点，即劳动投入量由L3到L4的区间。第Ⅲ阶段，边际产量为负，总产量也是递减的，这一阶段是MPL曲线和横轴的交点以后的阶段，即劳动投入量L4以后的区间。
图4-5 一种可变生产要素的生产函数的产量曲线
（2）首先，厂商肯定不会在第Ⅲ阶段进行生产，因为这个阶段的边际产量为负值，生产不会带来任何的好处。其次，厂商也不会在第Ⅰ阶段进行生产，因为平均产量在增加，投入的这种生产要素还没有发挥最大的作用，厂商没有获得预期的好处，继续扩大可变投入的使用量从而使产量扩大是有利可图的，至少使平均产量达到最高点时为止。因此厂商通常会在第Ⅱ阶段进行生产，虽然平均产量和边际产量都下降，但是总产量还在不断增加，收入也增加，只是增加的速度逐渐减慢，直到停止增加时为止。
6．简述等产量曲线的特征及其经济含义。（武汉大学2003研；北京理工大学2008研）
答：（1）等产量曲线的含义
等产量曲线是在技术水平不变的条件下生产同一产量的两种生产要素投入量的所有不同组合的轨迹。等产量曲线如图4-6所示。
图4-6 等产量曲线
如图4-6所示，该产量既可以使用A点的要素组合（OLa单位的劳动和OKa单位的资本）生产出来，也可以使用B点的要素组合（OLb单位的劳动和OKb单位的资本）生产出来。
（2）等产量曲线的特征
①在同一坐标平面上的任何两条等产量曲线之间，可以有无数条等产量曲线。它们按产量大小顺次排列，越接近原点的等产量曲线所代表的产量越少，越远离原点的等产量曲线所代表的产量越大。
②在同一坐标平面图上的任何两条等产量曲线不会相交。
③等产量曲线是凸向原点的，即等产量曲线的斜率的绝对值是递减的。它表示随着一种生产要素每增加一个单位，可以替代的另一种生产要素的数量将逐次减少。这一特征是由边际技术替代率递减规律所决定的。
（3）等产量曲线的经济含义
等产量曲线作为分析工具，与另一分析工具等成本线结合起来，研究生产者如何选择最优的生产要素组合，从而实现既定成本条件下的最大产量，或者实现既定产量条件下的最小成本。
7．假设一个生产函数的边际产量在要素增加到一个程度后下降为负值，它的等产量曲线有什么特点？（华中科技大学2002研）
答：等产量曲线表示在技术水平不变的条件下生产同一产量的两种生产要素投入量的所有不同组合的轨迹。当一个生产函数的边际产量在要素增加到一个程度后下降为负值时，等产量曲线的形状发生了变化，此时等产量曲线不是一条从左上方向右下方倾斜的曲线，而是一条从左下方向右上方倾斜的曲线，具有正的斜率。因为增加一种生产要素的投入量，由于边际产量为负，必须增加另一种生产要素的投入量，才能保持原有的产量，这表示生产要素之间是相互依赖的。如图4-7所示。
图4-7 边际产量为负时的等产量曲线
8．简述生产要素最优组合条件与利润最大化条件的关系。（北京师范大学2003研；中国人民大学2004研）
答：（1）要素的最佳组合是指以最小的成本生产最大产量的要素组合。在现实的生产经营决策中，要素的最优组合又具体表现为这样两种情况：一是在成本既定条件下，产量最大的要素组合；二是在产量既定条件下，成本最小的要素组合。但无论哪种情况，生产要素的最优组合条件都是MRTSLK＝MPL/MPK＝w/r。
（2）在完全竞争条件下，对厂商来说，商品的价格和生产要素的价格都是既定的，厂商可以通过对生产要素投入量的不断调整实现最大的利润，这可以用数学方法证明如下：
假定在完全竞争条件下，企业的生产函数Q＝f（L，K）。既定的商品价格为P，既定的劳动价格和资本价格分别为w和r，π表示利润。厂商的利润等于收益减去成本，即厂商的利润函数为：π（L，K）＝Pf（L，K）－（wL＋rK）。
利润最大化的一阶条件为：
根据上述两式，可得：
这和生产要素最优组合的条件是相同的。因此，在完全竞争条件下，追求利润最大化的厂商可以得到最优的生产要素组合。
9．生产要素最适组合的条件是什么？它是如何实现的？（湖南大学2006研；东北师范大学2008研；中南财经政法大学2011研）
答：在长期中，厂商能够调整所有的生产要素的投入数量。任何一个理性的生产者都会选择最优的生产要素组合进行生产，从而实现既定成本条件下的最大产量，或者实现既定产量条件下的最小成本。生产要素最适组合的条件都是：
（1）既定成本条件下的产量最大化
图4-8 既定成本条件下产量最大的要素组合
图4-8中，有一条等成本线AB和三条等产量曲线Q1、Q2和Q3。等成本线AB与等产量曲线Q2相切于E点，该点就是生产的均衡点。在生产均衡点E有：
或者
即为了实现既定成本条件下的最大产量，厂商必须选择最优的生产要素组合，使得两要素的边际技术替代率等于两要素的价格比例。
（2）既定产量条件下的成本最小化
图4-9 既定产量条件下成本最小的要素组合
图4-9中，有一条等产量曲线Q和三条等成本线AB、
和
，惟一的等产量曲线Q代表既定的产量。为了实现既定产量下的最小成本，厂商应该通过对两种要素投入的不断调整，使得花费在每一种要素的最后一单位的成本支出所带来的边际产量相等，即应满足
10．说明规模报酬递减和边际收益递减规律的异同。（西南财经大学2003、2006研；华中科技大学2004研）
答：（1）规模报酬递减规律和边际收益递减规律的含义
规模报酬递减是指在所有要素同时等量变动时，产量的变动幅度小于要素变动幅度。比如说劳动、资本等都同时增加1倍，总产量增加小于1倍。
边际收益递减规律也称为边际报酬递减规律，是指在其他要素投入不变的前提下，随着可变要素投入量的增加，在产量达到某点以后，继续增加可变要素的投入会引起该要素的边际报酬递减。
（2）规模报酬递减规律和边际收益递减规律的联系
规模报酬和边际收益均是考察厂商增加生产要素投入时产量变动的情况，厂商在短期内应该按照边际收益规律来安排生产要素投入及产出量，而在长期规划时需要参照规模报酬规律对生产规模进行规划。所以二者均是厂商生产决策时应遵循的规律。
（3）规模报酬递减规律和边际收益递减规律的区别
从规模报酬递减规律和边际收益递减规律的含义可以看出，边际收益递减是一个短期的概念，而规模报酬分析属于长期生产理论问题，即研究的是长期。
边际收益递减不是规模收益递减的原因，而是一种必然的趋势。规模收益递减却不是必然的趋势，产生的原因可能是规模不经济或负的外部性。
三、计算题
1．假设厂商的生产函数为y＝10L2－L3。
（1）求厂商生产合理区域。
（2）已知价格P＝1和工资w＝12，求最优要素使用量。（华南师范大学2011研）
解：（1）厂商生产合理区域就是平均产量最大值点（此时边际产量等于平均产量）到边际产量为0的点之间的区域。
平均产量为：APL＝y/L＝10L－L2；
令其一阶导数为0，得平均产量最大时的劳动投入量为L＝5。
边际产量
，令其为0，得边际产量为0时的劳动投入量为L＝20/3（舍去0值），因此厂商生产合理区域为5＜L＜20/3。
（2）利润函数为：π＝TR－TC＝Py－wL＝10L2－L3－12L；利润最大化的一阶条件为：
；可得L1＝6，L2＝2/3。
根据利润最大化的二阶条件，当L2＝2/3，
（舍去），所以最优要素投入量为L＝6。
2．厂商的短期生产函数为Q＝72L＋15L2－L3，其中Q和L分别代表一定时间内的产量和可变要素的投入量。求：
（1）MPL及APL函数。
（2）L投入量为多大时，MPL将开始面临递减？
（3）该厂商的最大产量是多少？为达到这个最大产量，L的投入量应为多少？（安徽大学2004研）
解：（1）根据厂商短期生产函数Q＝72L＋15L2－L3，可得：边际产量函数为MPL＝dQ/dL＝72＋30L－3L2；
平均产量函数为APL＝Q/L＝72＋15L－L2。
（2）由边际产量函数MPL＝dQ/dL＝72＋30L－3L2，
递减时dMPL/dL＝30－6L≤0，解得L≤5。因此，当可变要素投入量L＝5时，边际产量MPL开始面临递减。
（3）当边际产量MPL＝0时，总产量达到最大值，即72L＋30L－3L2＝0，解得L＝12。
此时厂商的最大产量为Q＝72L＋15L2－L3＝72×12＋15×122－123＝1296。
故该厂商的最大产量是1296，为达到这个最大产量，L的投入量应为12。
3．已知某企业的生产函数为Q＝L2/3K1/3，劳动力的价格为w＝2，资本的价格为r＝1。求：
（1）劳动力L与资本K的最优组合。
（2）当成本为C＝3000时，企业实现的最大产量Q的均衡值。（中央财经大学2009研）
解：（1）根据企业的生产函数，可得出劳动和资本的边际产量，即：
根据企业实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件，有：
于是有：
整理得：L＝K，即劳动力与资本的最优组合是两种投入要素投入数量相等。
（2）把L＝K代入等成本线2L＋K＝3000。解得：L*＝K*＝1000。
将L*＝K*＝1000代入生产函数，可求得最大产量：Q*＝（L*）2/3（K*）1/3＝1000，即当成本为C＝3000时，企业实现的最大产量Q的均衡值为1000。
4．厂商的生产函数为Q＝L3/8K5/8，又设PL＝3元，PK＝5元。
（1）求产量Q＝10的最低成本支出和使用的L和K的数量。
（2）求产量Q＝25的最低成本支出和使用的L和K的数量。
（3）求总成本为160元时厂商均衡的Q、L、K的值。（东华大学2010研）
解：（1）为了实现既定产量条件下的最小成本，要使两种要素的边际技术替代率等于两种要素的价格比率，即有：
①
又因为
②
将①代入②中可得K＝L＝10。
因此，最低成本支出C＝PLL＋PKK＝3×10＋5×10＝80。
（2）当产量Q＝25时，按照（1）的求法可得K＝L＝25。
因此，最低成本支出：C＝PLL＋PKK＝3×25＋5×25＝200。
（3）为了实现既定成本条件下的最大产量，也要使两种要素的边际技术替代率等于两种要素的价格比率，即有：MRTSLK＝MPL/MPK＝3K/5L＝PL/PK＝3/5，得：
③
又因为
④
将③代入④中可得K＝L＝20。
均衡总产量Q＝L3/8K5/8＝20。
5．己知生产函数Q＝min（L，4K）。求：
（1）当产量Q＝32时，L与K值分别是多少？
（2）如果生产要素的价格分别为PL＝2，PK＝5，则生产100单位产量时的最小成本是多少？（北京邮电大学2006研）
解：（1）由生产函数的形式可得，Q＝min（L，4K）是一个里昂惕夫生产函数。由里昂惕夫生产函数的性质可得，厂商处于最优生产情形时，Q＝L*＝4K*。
因此，当产量Q＝32时，L*＝32，K*＝8。
即当产量Q＝32时，L与K值分别是32和8。
（2）当产量Q＝100时，最优的要素投入为：L*＝100，K*＝25。
劳动和资本的价格分别为PL＝2，PK＝5，所以此时最小成本为：Cmin＝2×100＋5×25＝325。
即如果生产要素的价格分别为PL＝2，PK＝5，则生产100单位产量时的最小成本是325。
6．设生产函数为
，式中Q为产量，L和K分别为不同的生产要素，设L和K的投入价格为PL＝50元，PK＝80元，试求：
（1）试写出边际产量函数；
（2）如果生产400个单位的产品，应投入L和K各多少才能使成本最低？此时成本是多少？
（3）如果总投入为600元，应投入L和K各多少才能使产量最大？此时最大产量是多少？（东北大学2001研）
解：（1）生产函数为：。
劳动的边际产量函数为：
资本的边际产量函数为：
（2）根据厂商利润最大化的要素使用原则
即有：
解得：K＝5L/8。
当Q＝400时，代入生产函数，可得：
。
则
。
最小成本为：
（3）如果总投入为600元，则可得成本函数为：600＝50L＋80K。另已求得厂商利润最大化时劳动投入数量和资本投入数量的比例，即K＝5L/8。故可得：L＝6，K＝3.75。
最大产量
7．假设一家厂商用两种生产要素生产一种产品，其生产函数为
其中X1和X2代表要素1和2的投入数量。产品和要素的价格分别为P、r1和r2。请按下面的要求回答问题：
（1）判断该生产技术的规模经济状况；
（2）计算两种要素的边际技术替代率MRTS12；
（3）计算该厂商对要素1和2的需求；
（4）如果要素的价格上涨，讨论该厂商利润将发生怎样变化。（中国人民大学2009研）
解：（1）根据生产函数可判断生产技术的规模经济状况，即有：
所以，该生产技术为规模经济递减。
（2）要素1对要素2的边际技术替代率为：
（3）利润函数π＝Pf（X1，X2）－r1X1－r2X2。利润最大化应满足以下两个条件：
由以上两式可得，要素X1、X2的需求函数分别为：
（4）根据利润函数：π＝Pf（X1，X2）－r1X1－r2X2
分别对要素X1、X2的价格r1、r2求导可得：
所以，当要素价格上升时，利润下降。
8．设某企业的生产函数为Q（K，L）＝5KL，其中投入要素L的价格为10单位，投入要素K的价格为2单位，若产品售价为10单位且有市场需求时，试分别求出当投入要素受约束和不受约束情况下的最优投入量L*、K*（当投入要素受约束时可只给出求解的式子）。（东北大学2004研）
解：企业的利润函数为π（L，K）＝PQ－C（L，K）＝50KL－（10L＋2K）。
（1）投入要素受约束情况下的最优投入量
投入要素受约束时，假设约束为企业的可支配收入W，则有：
构造拉格朗日函数为：
利润最大化的一阶条件：
①
②
③
由①②③式可得：L*＝W/20，K*＝W/4。
（2）投入要素不受约束情况下的最优投入量
其一阶条件为：
④
⑤
由④⑤式可得：L*＝0.04，K*＝0.02。
9．分别求出下列生产函数的扩展线方程（要求列出适当的计算过程）。（东北财经大学2011研）
（1）Q＝5L0.75K0.25；
（2）Q＝KL/（K＋L）；
（3）Q＝min（3L，K）。
解：（1）对于生产函数Q＝5L0.75K0.25来说，有：MPK＝1.25L0.75K－0.75，MPL＝3.75L－0.25K0.25。
由最优要素组合的均衡条件MPL/MPK＝PL/PK，可得：3.75L－0.25K0.25/1.25L0.75K－0.75＝PL/PK。
整理得：K＝PLL/3PK，此即为该生产函数的扩展线方程。
（2）对于生产函数Q＝KL/（K＋L）来说，有：
由最优要素组合的均衡条件MPL/MPK＝PL/PK，可得：
整理得：
，此即为该生产函数的扩展线方程。
（3）生产函数Q＝min（3L，K）是固定投入比例的生产函数，厂商按照L/K＝1/3的固定投入比例进行生产，且厂商的生产均衡点在直线K＝3L上，即厂商的长期扩展线方程为K＝3L。
10．假定一个竞争性厂商，其生产函数为：
生产要素L和K的价格分别为w和r。
（1）试求在K为不变投入时厂商的短期成本函数；
（2）求厂商的长期成本函数，并讨论不同的规模报酬对平均成本曲线形状的影响。（中国人民大学2008研）
解：（1）在短期，假设K保持在K0水平不变，则生产函数为：
因而可得劳动投入与产出之间的关系为：
因此，短期成本函数为：
（2）在长期内，劳动和资本都可以改变，因而厂商的成本最小化问题：
设拉格朗日函数为：
成本最小化的一阶条件为：
从而可以解得：
从而可得长期成本函数为：
平均成本为：
对于柯布—道格拉斯生产函数而言，α＋β＞1时，规模报酬递增；当α＋β＝1时，规模报酬不变；当α＋β＜1时，规模报酬递减。
因此，当α＋β＞1，即规模报酬递增时，
，从而随着产量的递增，平均成本减少，平均成本曲线因而向下倾斜；当α＋β＜1，即规模报酬递减时，
，从而随着产量的递增，平均成本递增，平均成本曲线因而向上倾斜；当α＋β＝1，即规模报酬不变时，
，从而平均成本不受产量的影响，平均成本曲线因而是一条水平的直线。
四、论述题
1．资本的边际生产力递减规律与技术进步导致的生产率提高之间有何关系？边际生产力递减是如何体现在现实中的？请举例说明。（南开大学2005研）
答：（1）资本的边际生产力递减规律与技术进步导致的生产率提高之间的关系
资本的边际生产力递减规律是指在其他条件不变时，连续将资本的投入量增加到一定数量之后，总产出的增量即资本的边际产量将会出现递减的现象。一般认为，边际生产力递减规律并不是根据经济学中的某种理论或原理推导出来的规律，它是根据对实际的生产和技术情况观察所作出的经验性概括，反映了生产过程中的一种纯技术关系。同时，该规律只有在下述条件都具备时才会发生作用：生产技术水平既定不变；除一种投入要素可变外，其他投入要素均固定不变；可变的生产要素投入量必须超过一定点。
在不增加投入的情况下，产量却有所增加，这种情况被认为发生了技术进步。技术进步可由两个层次观察到：①产量不变时，所使用的要素投入减少；②要素投入不变时，其所生产的产量增加。
显然，按照边际生产力递减规律，在不存在技术进步时，总产出最终停止增长。可是，现实的经济实践表明，总产出并没有停止增长的情况，原因是技术进步提高了要素的生产率，保证了总产出的持续增长。技术进步导致生产率的提高不仅阻止了要素边际生产力的递减，一定程度上反而提高了要素的边际生产力，通过资本、劳动等加强并维持产出的增长。
可以说，边际生产力递减规律是短期生产的一条基本规律。技术进步导致的生产率提高，则是长期生产的结果。
（2）边际生产力递减规律在现实中的体现
边际生产力递减规律在现实中的例子很多，比如，对于给定的1公顷麦田来说，在技术水平和其他投入不变的前提下，考虑使用化肥的效果。如果只使用一公斤化肥，那可想而知，这一公斤化肥所带来的总产量的增加量即边际产量是很小的，可以说是微不足道的。但随化肥使用量的增加，其边际产量会逐步提高，直至达到最佳的效果即最大的边际产量。但必须看到，若超过化肥的最佳使用量后，再继续增加化肥使用量，就会对小麦生长带来不利影响，化肥的边际产量就会下降。过多的化肥甚至会烧坏庄稼，导致负的边际产量。
2．规模报酬的递增、不变和递减这三种情况与可变比例生产函数的报酬递增、不变和递减这三种情况的区别何在？“规模报酬递增的厂商不可能也会面临要素报酬递减的现象”，这个命题是否正确？为什么？（厦门大学2004研）
答：（1）规模报酬的递增、不变和递减这三种情况与可变比例生产函数的报酬递增、不变和递减的区别如下：规模报酬问题论及的是厂商的生产规模本身发生变化（假设为该厂商的厂房、设备等固定要素和劳动、原材料等可变要素发生了同比例变化）相应的产量是递增、不变还是递减，或者是说厂商根据它的经营规模大小（产销量大小）设计不同的工厂规模；而可变比例生产函数的报酬递增、不变和递减所讨论的是在该厂商的生产规模已经固定下来，即厂房、设备等固定要素既定不变，可变要素的变化引起的产量（报酬）递增、不变及递减三种情况。
（2）“规模报酬递增的厂商不可能也会面临要素报酬递减的现象。”这个命题是错误的。规模报酬和可变要素报酬是两个不同的概念。规模报酬问题讨论的是一座工厂本身规模发生变化时的产量变化，属于长期的概念；而可变要素报酬问题论及的则是厂房规模已经固定下来，增加可变要素时相应的产量变化，属于短期的概念。两者并不存在必然的联系，因此两者是可以同时存在的。
事实上，当厂商经营规模扩大时，在给定技术状况下，要素的生产效率提高，即生产表现出规模报酬递增。即便在规模报酬递增时，随着可变要素投入增加到足以使固定要素得到最有利效用时，继续增加可变要素投入，总产量的增量即边际产量也会出现递减现象。所以，规模报酬递增的厂商也可能面临要素报酬递减的现象。