第三章　行程问题

常见的题型有相遇与追及问题、环形运动问题、水流与扶梯问题、火车过桥问题等。解决行程问题，常用的基本方法有公式法、画图法和比例法。

一、常用方法

1．公式法

由于公式法对于多个运动过程或多个运动物体之间的运动关系不易把握到位，因此适用于比较简单的形成问题。

【例1】部队组织新兵到野外进行拉练，行程每天增加2千米。已知去时用了4天，回来时用了3天。目的地距离营地多少千米？（　　）

A．54 

B．72 

C．84　 

D．92

【答案】C 

【解析】设第一天行驶了x千米，则去时行了4x＋2＋4＋6，回时行了3x＋8＋10＋12，由二者相等可解得x=18，则两地相距3x＋30=84（千米）。

2．画图法

画图法可以帮助快速理解，常和公式法结合使用。注意运用公式：差异距离＝速度差×时间。画图法适用于较为复杂的行程过程，往往涉及折返型的运动过程。

【例2】某人在公共汽车上发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他下车去追小偷，如果他的速度比小偷快一倍，比汽车慢，则此人追上小偷需要（　　）。

A．20秒　  　 

B．50秒　 

C．95秒

D．110秒

【答案】D

【解析】设小偷的速度为“1”，因为此人的速度是小偷速度的2倍，所以此人的速度为“2”，这时根据他的速度比汽车慢，可得汽车的速度为2÷（1-）=10，此人开始追小偷时和小偷相距（1＋10）×10=110。因此，此人追上小偷需要110（2－1）=110（秒）。 

3．比例法

比例型行程问题是一类特殊的行程问题，其特点在于侧重考查路程、速度、时间三者中的某两个量对应的比例关系，尤其是借助这种比例关系进行转化的能力。

比例法应用前提：路程、速度、时间三个量中的某个量未知，或者不需要知道具体值，侧重考查其余两个量的比例关系。

【例3】从甲地到乙地有快车和慢车，快车12h，慢车15h，两车同时从甲地出发，快车到达乙地后再返回，还需要多长时间和慢车相遇？（　　）

A．　 

B．　 

C． 

D．

【答案】A

【解析】题干信息相当于两车相向行驶2倍的甲地到乙地的距离，所需的时间除去慢车从甲地到乙地的时间，即－12=。

【例4】甲、乙二人比赛爬楼梯，当甲爬到4层的时候，乙恰好爬到了3层。照这样的速度继续，当甲爬到16层时，乙爬到了几层？（　　）

A．13层　

B．10层

C．12层

D．11层

【答案】D

【解析】当甲爬到4层时他走了3段阶梯，乙走了2段阶梯，则甲、乙的速度比为3:2。当甲爬到16层时，他走了15段阶梯，时间相同，路程与速度成正比，则这时乙走了10段阶梯，到达了第11层。

二、初等行程问题

初等行程问题是研究一个物体的运动，即研究单个物体的速度、时间、路程三者之间的关系。

1．行程问题最基本公式及其推论

（1）基本公式

路程＝速度×时间

（2）推论

时间相同时，路程与速度成正比；速度相同时，路程与时间成正比；路程相同时，速度与时间成反比。

2．题目设置

（1）路程：单向直路、往返路、上坡路、下坡路、环型路、“回头”路、速度不同的一段路、队伍（火车）过桥（隧道）、动物爬树（井）等。

（2）时间：具体时刻、时间提前、时间延后、休息时间等。

（3）速度：平均速度、速度变大、速度变小等。

【例5】小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。如果他骑车从A城到B城，再步行返回A城共需2小时。问小王跑步从A城到B城需要多少分钟？（　　）

A．45

B．48　

C．56　

D．60

【答案】B

【解析】方法一：由题意可知，设步行、跑步、骑车的速度分别为1、2、4，则对步行与骑车应用等距离平均速度公式，其平均速度为＝，以此速度从A城到B城用时为2÷2＝1小时，因此跑步从A城到B城需用时×1÷2＝（小时），即48分钟。

方法二：步行、跑步、骑车的速度比为1:2:4，设其分别为1、2、4，A、B两城之间的距离为s，＋＝2，得s＝，因此跑步从A城到B城需用时÷2＝（小时），即48分钟。

三、相遇问题

相遇问题是行程问题的典型应用题，研究“相向运动”的问题，反映的是两个量或者多个物体所走的路程、速度和时间的关系，其核心就是速度和。通常是已知速度、路程等变量，求相遇时间或者已知时间，速度，求路程等这类题型。

1．基本公式

速度和×相遇时间＝相遇路程；

相遇路程÷相遇时间＝速度和；

相遇路程÷速度和＝相遇时间。

2．题目设置

（1）直线相遇问题

当相遇问题发生在直线路程上时，甲的路程＋乙的路程＝总路程；

（2）环线相遇问题

当相遇问题发生在环形路程上时，甲的路程＋乙的路程＝环形周长。

3．解题技巧

（1）解答相遇问题时，一般需要借助于列方程法进行求解；

（2）对于复杂的相遇问题，正确画出行程图、找准突破口往往是解题的关键。

（3）单个的往返问题，一般以时间关系为突破口；

（4）往返问题，一般以路程为突破口。

【例6】甲车从A地，乙车和丙车从B地同时出发，相向而行。已知甲车每小时行65公里，乙车每小时行73公里，丙车每小时行55公里。甲车和乙车相遇后，经过15小时又与丙车相遇，那么A、B两地相距（　　）公里。

A．10100　 

B．13800

C．10600　 

D．14800

【答案】B

【解析】由题意可知，设从出发到甲乙相遇经过了t小时，得65×15＋55×15＋55t＝73t，得t＝100；A、B两地的距离应为：65×100＋73×100＝13800（公里）。

【例7】甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向前行，甲到达B地后，立即往回走，回到A地后，又立即向B地走去；乙到达A地后，立即往回走，回到B地后，又立即向A地走去。两人如此往复，行走速度不变。若两人第二次迎面相遇的地点距A地450米，第四次迎面相遇的地点距B地650米，则A、B两地相距（　　）。

A．1020米 

B．950米

C．1150米　

D．1260米

【答案】A

【解析】在多次相遇问题中，两人同时从异地出发，第n次迎面相遇时，两人各自所走路程是两人第一次相遇时各自所走路程的（2n－1）倍。设A、B两地相距x米，第二次迎面相遇时，甲第一次从B地往A地走，甲所走路程为（2x－450）米；第四次迎面相遇时，甲第三次从B地往A地走，甲所走路程为（3x＋650）米。则（2x－450）:（3x＋650）＝（2×2－1）:（4×2－1），解得x＝1020（米）。

四、追及问题

追及问题是行程问题的常考典型应用题，是研究“同向运动”的问题，追及问题反映的是两个量或者多个量所走的路程、速度和时间的关系，核心就是速度差。

1．基本公式

追及时间＝路程差÷速度差；

路程差＝追及时间×速度差；

速度差＝路程差÷追及时间。

2．题目设置

（1）当追及问题发生在直线路程上时：路程差＝追者路程一被追者路程＝速度差×追及时间；

（2）当发生在环形路程上时：快的路程－慢的路程＝曲线的周长。

【例8】甲和乙在长400米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而行，则第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程；如两人同时从同一点出发同向而行，问跑的快的人第一次追上另一人时跑了多少米？（　　）

A．600　 

B．800　 

C．1000 

D．1200

【答案】C

【解析】由“第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程”可知，两个人分别跑了250米和150米，两人相差250－150＝100（米），若如两人同时从同一点出发同向而行，跑的快的人第一次追上另一人时定多跑了400米，而速度未变，则此时跑得快的人跑了400÷100×250＝1000（米）。

五、行船问题

行船问题是行程问题的一种，有基本行船问题和变形行船问题（扶梯问题）两种类型。解决行船问题的关键是确定“船”的运动速度。一般情况下可采用列方程法求解。

1．基本行船问题

顺水速度＝船速＋水速

逆水速度＝船速－水速

由上述两个公式进行相加相减得以下两公式：

船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2

水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2

【例9】小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把空塑料水壶掉进江中，当他们发现并调过头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？（　　）

A．0.2小时

B．0.3小时 

C．0.4小时 

D．0.5小时

【答案】D

【解析】根据题意，小船调转船头追水壶时为顺流，小船的顺流速度是4＋2＝6（千米/时）；此时水壶与船已经相距2千米，即追及路程是2千米，水壶的速度即为水流速度，则追及时间为＝0.5（小时）。

【例10】一条执行考察任务的科考船，现从B地沿河驶入海口，已知B地距入海口60千米，水速为每小时6千米，若船顺流而下，则用4小时可以到达入海口，该船完成任务从入海口返回并按原速度航行4小时后，由于海水涨潮，水流方向发生变化，水速变为每小时3千米，则该船到达B地还需再航行（ 　 ）小时。

A．5　 

B．4　 

C．3　 

D．2

【答案】B

【解析】从B地到入海口总路程为60千米，水速为6千米/小时。因为船顺流而下到达入海口用时4小时，所以船速为60÷4－6＝9（千米/小时）。从入海口返回，逆流航行4小时，该船行驶的路程为（9－6）×4＝12（千米）。此时水流方向发生变化，逆流改为顺流，且水速变为3千米/小时，则剩余路程用时（60－12）÷（9＋3）＝4（小时）。

3．行船问题的变形——扶梯问题

扶梯行程问题中的“扶梯总长”在题目当中一般被描述为“扶梯露在外面的阶数”。

计算公式：扶梯总长＝人走的阶数×（1±）

规律：顺行用加法，逆行用减法。

（1）沿电梯运动

能看到的电梯级数＝人实际走过的级数＋电梯本身移动的级数；

由于人实际走过的时间与电梯本身移动的时间相等，则上式变形为：

能看到的电梯级数＝顺行速度×沿电梯运动方向运动所需时间＝（人速＋电梯速度）×沿电梯运动方向运动所需时间；

（2）逆电梯运动

能看到的电梯级数＝人实际走过的级数－电梯本身走过的级数；

由于人实际走过的时间与电梯本身移动的时间相等，则上式变形为：

能看到的电梯级数＝逆行速度×逆电梯运动方向运动所需时间＝（人速－电梯速度）×逆电梯运动方向运动所需时间。

【例11】甲、乙两人在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部行走，甲每分钟走的扶梯的级数是乙的2倍；当甲走了36级到达顶部，而乙则走了24级到顶部。那么，自动扶梯有多少级露在外面？（　　）

A．68　

B．56　

C．72　 

D．85

【答案】C

【解析】甲、乙走到顶部时间之比为:24＝3:4，则扶梯运送两人的距离之比也为3:4，设分别为3x、4x，扶梯总长为n，由题意可得n＝36＋3x，n＝24＋4x，得x＝12，n＝72。即自动扶梯有72级露在外面。

六、火车过桥问题

火车过桥类问题一般难度并不大，只需注意情境中的细节。

题型简述：运动物体的长度相对行进路程的影响较大，无法忽略不计。

思路提示：行进路程＝桥长＋车长

【例12】火车驶过长900米的铁路桥，从车头上桥到车尾离桥共用1分25秒，紧接着列车又穿过一条长1800米的隧道，从车头迸隧道到车尾离开隧道用了2分40秒，则火车车身长为（　　）。

A．120米　

B．100米　

C．80米 

D．90米

【答案】A

【解析】设车身长度为x米，则从车头上桥到车尾离桥火车行驶距离为（900＋x）米，从车头进隧道到车尾离开隧道行驶距离为（1800＋x）米，列方程（900＋x）÷85＝（1800＋x）÷160，解得x＝120（米）。

【例13】一列火车的车身长800米，行驶的速度是每小时60千米，铁路上有两座隧洞且长度相等。火车从车头进入第一个隧洞到车尾离开第一个隧洞用2分钟，从车头进入第一个隧洞到车尾离开第二个隧洞共用6分钟，两座隧洞之间相距多少千米？（　　）

A．3　

B．2.5 

C．2.8　

D．2.6

【答案】C

【解析】火车速度是1千米/分钟，经过第一个隧洞用了2分钟共走了2千米，因此隧洞的长度是2000－800＝1200（米）。从车头进入第一个隧洞到车尾离开第二个隧洞行驶总长度是1×6－0.8＝5.2（千米），去掉两个隧洞的长度，则它们之间的距离就是5.2－2×1.2＝2.8（千米）。

七、其他行程问题

1．封闭路线（环形）中的行程问题

①一般运动的两者处于同一起点，当两者异向运动时，可以看做相遇问题，等价于两者一起运动完一周，则环形周长＝（速度1＋速度2）×异向运动的两人两次相遇的间隔时间，S＝（v₁＋v₂）×t；

②同向运动时，可以当做追及问题，等价于速度大的一方要比速度小的一方多运动一周长，则环形周长＝（速度1－速度2）×同向运动的两人两次相遇的间隔时间，即S＝（v₁－v₂）×t。

【例14】每条长200米的三个圆形跑道相交于A点，张三、李四、王五三个队员从三个跑道的交点A处同时出发，各取一条跑道练习长跑。张三每小时跑5公里，李四每小时跑7公里，王五每小时跑9公里。问三人第四次在A处相遇时，他们跑了多长时间？（　　）

A．40分钟　

B．48分钟　

C．56分钟　

D．64分钟

【答案】B

【解析】三人每跑一圈的时间分别是＝，＝，＝分钟，那么每过一个12分钟则他们三人都恰好在A点，所以第四次相遇A点是48分钟。

【例15】一个正六边形跑道，每边长为100米，甲乙两人分别从两个相对的顶点同时出发，沿跑道相向匀速前进，第一次相遇时甲比乙多跑了60米，问甲跑三圈时，两人之间的直线距离是多少？（　　）

A．100米　

B．150米

C．200米　 

D．300米

【答案】C

【解析】根据题意，设第一次相遇时，甲跑了x米，因为是正六边形，且每边长度为100米，则有x＋x－60＝300，解得x＝180，即在相同的时间内甲跑了180米，乙跑了120米，二者的速度比为3:2，则在相同的时间内，甲跑三圈，乙要跑两圈，即正好都在原先各自的起点处，此时两者的直线距离即为两个顶点之间的距离为200米。

2．等距离平均速度问题

等距离平均速度问题是指路程相等，速度不同，最后求的是两段路程的平均速度的问题。通常情况下，题目给出的已知条件是两段相等路程的不同速度，等距离平均速度应用公式为：

等距离平均速度（其中，分别为往返速度）。

【例16】一条环形赛道前半段为上坡，后半段为下坡，上坡和下坡的长度相等，两辆车同时从赛道起点出发同向行驶，其中A车上下坡时速相等，而B车上坡时速比A车慢20%，下坡时速比A车快20%。问在A车跑到第几圈时，两车再次齐头并进？（　　）

A．22　

B．23　 

C．24

D．25

【答案】D

【解析】设A车速度为ν，则B车上坡速度为0.8ν、下坡速度为1.2ν，由等距离平均速度公式可知，B车完成一圈的平均速度为＝＝0.96ν，则A车与B车的速度之比为25:24，即A车完成25圈时，两车同时回到起点。

3．沿途数车问题

沿途数车问题公式，发车时间间隔，（每隔t₁分钟就遇到迎面开来的一辆公车，每隔t₂分钟就有一辆公车从后面超过该人）。

【例17】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？（　　）

A．20　 

B．24　 

C．25　

D．30

【答案】B

【解析】假设小明在路上向前行走了60（20、30的最小公倍数）分钟后，立即回头再走60分钟，回到原地。则在前60分钟他迎面遇到的车为：60÷20＝3（辆），后60分钟追上他的车有60÷30＝2（辆）。则在两个60分钟里他共遇到朝同一方向开来的5辆车，则发车的时间间隔为60×2÷（3＋2）＝24（分钟）。

4．间歇型行程问题

先考虑没有休息时的运动情况，然后考虑休息间隔所带来的影响。

【例18】公路上有三辆同向行驶的汽车，其中甲车的时速为63公里，乙、丙两车的时速均为60公里，但由于水箱故障，丙车每连续行驶30分钟后必须停车2分钟。早上10点，三车到达同一位置，问1小时后，甲、丙两车最多相距多少公里？（　　）

A．5　 

B．7

C．9　 

D．11

【答案】B

【解析】甲车的时速为63公里，即甲1小时行驶了63公里，丙车最多需要停车4分钟，即行驶了56分钟，则丙车行驶路程为×60＝56（公里），则甲、丙两车最多相距63－56＝7（公里）。

【例19】高速公路上行驶的汽车A的速度是100公里每小时，汽车B的速度是120公里每小时，此刻汽车A在汽车B前方80公里处，汽车A中途加油停车10分钟后继续向前行驶。那么从两车相距80公里处开始，汽车B至少要多长时间可以追上汽车A？（　　）

A．2小时　

B．3小时10分　 

C．3小时50分　

D．4小时10分

【答案】B

【解析】当A车加油时间刚结束时，B车追上A车所需时间最少。A车加油的10分钟，B车的行驶路程为120×（10÷60）＝20（公里），剩余60公里的距离相当于追及问题，追上所需的时间为60÷（120－100）＝3（小时）。即汽车B追上汽车A总共需要3小时10分钟。

5．两次相遇问题

S表示两端点之间的距离。单边型指两次距离都是关于同一端点，两边型指两次距离分别关于两个端点。

（1）单边型两次相遇距离公式：s＝

【例20】甲、乙两人同时分别从A、B两地相向而行，相遇时距A地80米，相遇后，他们各自按原速度继续前进，到达目的地后立即返回，在距A地60米处再次相遇。求A、B两地的距离为（　　）米？

A．100　 

B．120　

C．150　

D．180

【答案】C

【解析】当甲、乙两人第一次相遇时，两人共行了一个全程，其中甲走了80米，当两人第二次相遇时，两人共行了3个全程，其中，甲走了3个80米。甲走的路程加上60米正好是两个全程（此处画图即可看出），因此全程为：（80×3＋60）/2=150（米）。

（2）两边型两次相遇距离公式：s＝3s₁－s₂

【例21】甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行。第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则A、B两地相距多少千米？（　　）

A．10　 

B．12　 

C．18　 

D．15

【答案】D

【解析】如图可知，甲、乙从出发到第二次相遇所走的路程是从出发到第一次相遇所走路程的3倍。

第一次相遇甲走了6千米，第二次相遇时甲共走了63=18（千米），总路程为18－3=15（千米）。