第二章　计算问题

一、乘方尾数问题

在不直接计算算式各项值的情况下，只计算算式的尾数，得到结果的尾数。从而确定选项中的答案。一般适用于加、减、乘（方）这三种情况的运算（出现除法运算除外）。

1．乘方尾数的变化规律：

①2的乘方尾数：每4个数为一个周期，分别为2，4，8，6；

②3的乘方尾数：每4个数为一个周期，分别为3，9，7，1；

③4的乘方尾数：每2个数为一个周期，分别为4，6；

④0、1、5和6的乘方尾数：常数0、1、5和6；

⑤7的乘方尾数：每4个数为一个周期，分别为7，9，3，1；

⑥8的乘方尾数：每4个数为一个周期，分别为8，4，2，6；

⑦9的乘方尾数：每2个数为一个周期，分别为9，1。

2．乘方尾数口诀

底数留个位，指数除4留余数，余数为0当做4，所得数的尾数等于原数的尾数。

【例1】1²＋2²＋3²＋…＋123456789²的个位数是（　　）。

A．3　

B．4　 

C．5

D．6

【答案】C

【解析】原式各项的尾数按照1²到9²依次循环，则计算1²＋2²＋3²＋…＋9²的尾数即可，1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1的尾数为5，则所有数字之和的尾数为5。因此C项正确。

二、裂项相消问题

裂项公式：在分母明显由几个差别不大的式子组成时，可以采用裂项的方式，使得计算式子变得简单。常用的格式有：

1．两项分母裂项公式

“＝（－）×”得：＋＋＋…＋＝（－）×

2．三项分母裂项公式

“＝[－]×”得：＋＋…＋＝[－]×

【例2】＋＋……＋的值为（　　）。

A．  　

B． 

C．　

D．

【答案】C

【解析】＋＋＋…＋＝（－）×，则＋

＋……＋＝（－）×＝。

三、选项估算问题

估算，即在精度要求不太高的情况下，进行粗略估值的计算方式。估算的常用形式主要包括两种，选项差距大的时候可以直接用四舍五入进行计算，选项差距不够大的时候要考虑误差分析。

1．尾数估算法

尾数估算法是指在选项中的尾数不相同时，算出计算结果的尾数，来估计正确答案的方法，常用的估算法包括尾数法、多位尾数法、除法尾数法等。

【例3】958×376＋253－132²的值为（　　）。

A．343031 

B．343022 

C．343037　

D．343029

【答案】C

【解析】958×376的尾数是8，132×132的尾数是4，则结果的尾数为8＋3－4＝7。因此C项正确。

【例4】1²⁰⁰⁷＋3²⁰⁰⁷＋5²⁰⁰⁷＋7²⁰⁰⁷＋9²⁰⁰⁷的值的个位数是（　　）。

A．5　

B．6　

C．8　 

D．9

【答案】A

【解析】1的多次方个位数始终为1，5的多次方个位数始终为5，9的多次方个位数是9、1循环，3的多次方个位数是3、9、7、1循环，7的多次方个位数是7、9、3、1循环。因为2007÷4＝501…3，各数2007次方的个位数分别是1，7，5，3，9，又1＋7＋5＋3＋9＝25，1²⁰⁰⁷＋3²⁰⁰⁷＋5²⁰⁰⁷＋7²⁰⁰⁷＋9²⁰⁰⁷的个位数为5。

2．凑整估算法

凑整估算法是指为方便计算，对式子中的一些值进行估算，算出答案的大概范围，结合选项从而得出结果的方法。

【例5】10的平方加11的平方加12的平方加13的平方加14的平方，其和除以365，得几？（　  ）

A．5.5　 　

B．4　

C．2.5 

D．2

【答案】D

【解析】10²＋11²＋12²＋13²＋14²≈5×12²＝720，且略大于720。720÷365≈1.97。D项最接近。

四、整体消去问题

“整体消去法”，指在计算中，将相近的数化为相同，从而作为一个整体进行抵消的方法。

【例6】÷与下列哪个数最接近？（　  ）

A．0.75 　 

B．0.55　 

C．0.92

D．1.1

【答案】C

【解析】原式＝＝×＝＝。

五、中学数学问题

中学数学问题主要是指涉及中学数学知识的题型，运用中学数学知识，并结合选项进行求解，包括：

1．新定义符号运算

加、减、乘、除是我们所熟悉的四则运算，定义新运算就是打破原有的运算规则，给出一种新的运算方法，并赋予该运算方法新的运算符号，如*、△、◎、※等。

【例7】定义新运算：，则下列各项中最大的是（　  ）。

A．　 

B． 

C．　  　 

D．30

【答案】C

【解析】π＜3.2，25＜30，即＜。＞30，即3.2×10＞，故3.2＝3.2×10＝32。因此C项正确。

【例8】定义4△5=4＋5＋6＋7＋8=30，7△4＝7＋8＋9＋10=34，按此规律，（26△15）＋（10△3）的值为（　　）。

A．528　   

B．525　   

C．423　

D．420

【答案】A

【解析】a△b代表的是一个公差为1的等差数列的和，其中a代表该数列的首项，b代表该数列的项数，因此由等差数列求和公式可以得到，a△b=ab＋b（b－1）。因此，（26△15）＋（10△3）=26×15＋×15×（15－1）＋10＋11＋12=528。

2．复杂方程求解

【例9】已知：，则x＋2＋＝（　  ）。

A． 

B．a　

C．2ª  　

D．

【答案】C

【解析】由题意可知，，x＋2＋＝＝

＝＋2＝2a－2＋2＝2a。

3．不等式

【例10】某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，…，9，10…当将这些页码相加时，某人把其中一个页码错加了两次，结果和为2001，则这书共有（　  ）页。

A．59

B．61 

C．66　 

D．62

【答案】D

【解析】设这本书有n页，页码总数为，依题意有＜2001，得n＜63，则n＝62。

4．函数

对于函数问题，数学运算中考查较多的便是分段函数问题，而二次函数的最值问题也不可忽视。

（1）二次函数

设f（x）＝ax²＋bx＋c（a≠0），则其顶点为（，），对称轴为x＝。

①若a＞0，它的图像是开口向上的抛物线，则：

a．当x＝∈[m，n]时，f（x）在区间[m，n]上的极小值f（x）_min＝f（）＝；f（x）在区间[m，n]上的极大值f（x）_max＝MAX[f（m），f（n）]；

b．当＜m时，f（x）_min＝f（m），f（x）_max＝f（n）；

c．当n＜时，f（x）_min＝f（n），f（x）_max＝f（m）。

②若a＜0，它的图像是开口向下的抛物线，则：

a．当x＝∈[m，n]时，f（x）_min＝MIN[f（m），f（n）]，f（x）_max＝f（）＝；

b．当＜m时，f（x）_min＝f（n），f（x）_max＝f（m）；

c．当n＜时，f（x）_min＝f（m），f（x）_max＝f（n）。

（2）分段函数

分段函数是自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数。在表达形式上可表达如下：

f（x）＝

其图像表现为若干段不一定连续的曲线。