2015年上半年全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（高级中学）真题及详解

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合，则集合 =（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】，，则。

2．，“”是“”成立的（　　）。

A．充分条件但不是必要条件

B．充分必要条件

C．必要条件但不是充分条件

D．以上都不是

【答案】B

【解析】当时，推出；当时，推出；当时，推出。同理当时，则有。

3．与命题“在连续”不等价的命题是（　　）。

A．对任意数列，，有

B．，使得

C．存在数列，，有

D．对任意数列，，有

【答案】C

【解析】ABD三项均是等价命题，若存在数列，，有，则在点不一定连续，如函数，存在数列，，有，但函数在原点不连续。

4．三次函数的导函数图像如图1所示，则此三次函数的图像是（　　）。

图1

【答案】B

【解析】根据导函数的意义，若导函数大于0，则原函数递增；若导函数小于0，则原函数递减。所以只有Ｂ项符合条件。

5．设是代数方程的根，则下列结论不正确的是（　  ）。

A．是的因式

B．整除

C．是函数的图像与轴的交点

D．

【答案】D

【解析】不能推出是代数方程的根，如，有，但原代数方程没有实根。

6．表示的曲线是（　　）。

A．椭圆

B．双曲线

C．抛物线

D．两条相交直线

【答案】A

【解析】如果将坐标轴绕原点旋转，则有，即。

带入原方程得，则原方程表示椭圆。

7．下列图形符号中表示算法程序“判断框”的是（　　）。

【答案】D

【解析】A项代表起止框；Ｂ项代表输入、输出框；Ｃ项代表处理框；Ｄ项代表判断框。

8．下面是关于学生数学学习评价的认识：

①通过考查学生的知识技能就可以对学生的数学学习进行全面评价

②通过考查学生的情感与态度就可以对学生的数学学习水平进行评价

③数学学习的评价重在学习过程，对于学习结果不必看

④数学学习的评价是激励学生学习，而不是改进教师教学

其中，不正确的为（　　）。

A．③④

B．①②③

C．①②④

D．①②③④

【答案】D

【解析】《数学课程标准》指出：“应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。”“评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。” “学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教学。”

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）。

1．某投资人本金为A元，投资策略为：（1）一年连续投资次，每个投资周期为年；（2）在每个投资周期中，利率均为；（3）总是连本带总滚动投资。

回答下列问题：

（1）一年后的资金总额？

（2）若干年后，资金总额趋于多少？

解：（1）第1个投资周期后资金为元，

第2个投资周后资金总额为元，

第n个投资周期后，即一年后资金总额为元。

（2），即当时，资金总额趋于。

2．某人从A处开车到D处上班，若各路段发生堵车事件是相对独立的，发生堵车的概率如图2所示（例如路段AC发生堵车的概率是）。

请选择一条由A到D的路线，使得发生堵车的概率最小，并计算此概率。

图2

解：由A到D的线路有两条分别是A-B-D，A-C-D，

走A-B-D发生堵车的概率为，

走A-C-D发生堵车的概率为，

显然，所以走A-C-D线路发生堵车概率最小，概率为。

3．举例所明运用分析法证明数学结论的思维过程和特点。

答：分析法是指从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知量、定义、公理、定理、性质、法则等）为止，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法。

（1）分析法证明的思维过程

用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：

（2）分析法证明的特点

从“未知”看“需知”逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上里寻找使结论成立的充分条件。

例如：对于任意的，，满足基本不等式的证明过程。

分析法证明：要证，

只需证：，

只需证：，

因为成立所以成立。

4．简述“尺规作图”的基本要求，并写出古希腊时期“几何作图三大问题”的具体内容。

答：（1）尺规作图的基本要求

①它使用的直尺和圆规带有想象性质，跟现实中的并非完全相同；

②直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。

③圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度。

（2）古希腊时期“几何作图三大问题”，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的。

①立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。

②化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。

③三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。

三、解答題（本大题1小题，10分）。

1．已知方程表示的几何图形是椭圆，求出其短半轴与长半轴的长度。

解：椭圆的中心在坐标原点，设椭圆上任一点，则原点O与P的距离r的最大、小值即为椭圆的长半轴与短半轴的长。

，当时，，

而，

由柯西不等式得，

，当且仅当时，取等号。

故椭圆的的短半轴长为1，长半轴长为。

四、论述题（本大题1小题，15分）

1．以高中阶段的函数概念为例，阐述数学课程内容的呈现如何体现螺旋上升的原则？

答：数学中有一些重要的内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解掌握的，如函数、概率，数形结合、逻辑推理、模型思想等，因此，教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则编排。

螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，即体现出明显的阶段性要求。例如，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终，因此，教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则，教材可以将函数内容的学习分为三个主要阶段：

①第一阶段，通过一些具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。

②第二阶段，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解，引导学生不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。

③第三阶段，鼓励学生运用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，在这个过程中反复体会函数的概念，才能真正掌掘，灵活应用。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题

1．方式1．实数有加法运算，那么下列集合的关系呢？

方式2．班里有会弹钢琴的，会打拳击的会……（给出集合的并集的定义）

方式3．前面学习了集合，集合的表示，基本关系，接下来呢……

问题：

（1）分析三种引入方式的特点。（6分）

（2）对于方式3，教师可以引导学生进一步提出哪些问题。（6分）

（3）数学概念引入的关键点是什么？（4分）如何使数学概念的引入更加自然？（4分）

答：（1）特点

①方式1的引入，从学生熟悉的实数加法运算入手，降低了认知难度，但是集合间的交、并、补、差运算，与实数的运算虽然有一定的联系，但还是有些差别，在教学过程中注意引导学生思考探究，避免出现运算误区。

②方式2的引入，利用学生身边的人创设问题情景，降低对新知识的陌生感，引发学生思维的共鸣。

③方式3的引入，运用以前学过的知识内容，进行新旧知识的衔接过渡，降生对新知识的认知难度，但是缺乏具体内容的回顾，只是简单的提及，不能够全面的顾及到班上的所有学生对已有知识的掌握情况，未能达到降低对新知识认知难度的目的。

（2）问题1．集合之间是否也具备一些运算规律呢？

问题2．集合的并集运算与实数的加法运算有什么异同点？

问题3．集合的交集运算需要注意的问题有什么？

问题4．集合的补集运算与实数的减法运算有什么异同点？

（3）①数学概念的引入的关键点

a．注意运用新、旧知识之间的内在联系；

b．调动学生认知结构中已有感性经验去感知理解材料，创设具体情景，从具体事例中抽象出数学概念。

②自然过渡的方法

在利用新旧知识之间的联系引入概念时，注意创设类比发现的问题情境，关注新旧知识的链接，尝试引入新的概念，这样引入容易使学生在原有的认知结构中得到同化和建构。通过创设情境从具体事例抽象出数学概念时要求充分调动学生认知结构中已有的感性经验和知识，去感知理解材料，经过思维加工产生认识飞跃，继而组织成完整的概念图式，在具体引入概念的过程中可以通过实例、绘图或是多媒体辅助引导学生分析数学概念的特点，使学生思维由感性认识自然过渡到理性认识。

六、教学设计题（本大题1小题，30分）

1．“两角差的余弦公式”是高中数学必修4中的内容，“经历用向量的数量积推出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用”，请完成“两角差的余弦公式推导过程”教学设计中的下列任务。

问题：

（1）分析学生已有的知识基础。

（2）确定学生学习的难点。

（3）写出推导过程。

答：（1）知识基础

学生已经学习了任意角三角函数的图象和性质，诱导公式以及平面向量，会用向量的坐标运算。会用平面向量数量积的坐标表示模和夹角。能利用向量积求两个向量之间的夹角。

（2）难点

两角差的余弦公式的推导过程是本课的难点，引导学生通过主动参与，独立探索，自己得出结果更是难点，凭直觉得出是学生经常犯错误，跟学生的直觉判断产生了偏差。学生学过的三角函数知识，计算有关三角函数的问题是很自然的，鉴于学生独立地运用单位圆上的三角函数线进行探索存在一定的困难，把探索过程写进了教材，由于推导过程比较复杂，教材给了利用向量的方法推导两角差的余弦公式，由于前一章刚学习了向量，学生应用不灵活。则推导两角差的余弦公式存在困难。

（3）推导过程

如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以Ox为始边作角、，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，

则，，由向量数量积的坐标表示，则有，

，

（1）如那么向量与的夹角就是，由向量数量积的定义，

，

于是。

（2）当时，设与的夹角为θ，则

，

另一方面，由图可知，，于是，

所以，也有。

所以对意角，有。