第一部分　历年真题及详解

2015年下半年全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（高级中学）真题及详解

一、单项选择题（共8题，每小题5分，共40分）

1．若多项式和，则和）的公因式为（　　）。

A．x+1

B．x+3　 

C．x-1　

D．x-2

【答案】A

【解析】由辗转相除法可得。

 

2．已知变换矩则A将空间曲面 变成（　　）。

A．球面

B．椭球线

C．抛物线　 

D．双曲线

【答案】B

【解析】由已知的条件设曲面经矩阵A变化后为

=, 则x=,y=,z=故其方程为。

 

3．为研究7至10岁儿童的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市100名和1000名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为α、β （单位:cm），大小关系为（　　）。

A. α＞β

B. α＜β

C. α=β

D.不能确定

【答案】D

【解析】随机抽样的结果之间关系无法确定。

 

4．已知数列与数列，n=1,2,3…则下列结论不正确的是（　　）。

A．若对任意的整数n,有;

B．若且则对任意的正整数n,

C．若且存在正整数N，使得当n>N时，则

D．若对任意的正整数n,有且b>0,则a>0

【答案】B

【解析】取而

,，因此结论不正确。

5．下列关系不正确的是（　　）。

D．

【答案】B

【解析】由向量积的性质可得

6． 函数级数 的收敛区间为（　　）。

A．（-3，3）

B．（］ 

C．［）　 

D．[-3,3]

【答案】C

【解析】先求收敛半径 又当x=时级数发散，x=-时级数收敛，故收敛半径为［）。

7． 20世纪初对国际数学教育产生重要影响的是（　　）。

A．贝利-克莱因运动

B．大众教学

C．新数学运动 

D．PISA项目

【答案】A

【解析】第一次数学课程改革发生在20世纪初，史称“克莱因-贝利运动”。英国数学家贝利提出“数学教育应该面向大众”“数学教育必须重视应用”的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不断进行改革。

8．《普通高中数学课程标准（实验）》提出了五种基本能力，其中不包括（　　）。

A. 抽象概括

B. 推理论证　

C. 观察操作　 

D. 数据处理

【答案】C

【解析】《普通高中数学课程标准（实验）》提出了五项基本能力，包括:抽象概括、推理论证、数据处理、空间想象、运算求解。

二、简答题（共5题，每题7分，共35分）

9．一条光线斜射在一水平放置的平面上，入射角为，请建立空间直角坐标系，并求出反射光线的方程， 若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求出旋转曲面的方程。

答：以此光线与平面的交点为原点建立空间直角坐标系，如下图:

则入射光线所在直线过原点且在yoz坐标面上，所以入射光线的直线方程为，反射光线为，法线为z轴。

若将反射光线绕法线旋转一周，也就是绕z轴旋转一周，则得出旋转曲面的方程是。

10． 求证：非齐次线性方程组　  有唯一解当且仅当向量 线性无关。

答：（1）若向量线性无关时，满足方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩相等这一条件，则方程组有解。

先证明唯一性：设方程组有两个解：

即

两式作差得

因为线性无关

所以

（2）若线性方程组　  有唯一解，假设

线性相关，所以存在不全为0的实数使得，

则也是线性方程组的解，与线性方程组有唯一解矛盾。

综上所述，线性方程组　 有唯一解当且仅当向量

线性无关。

11．某飞行表演队由甲乙两队组成。甲队由喷红色雾和绿色雾的飞机组成，各3架，乙队仅有3架喷红色雾的飞机。在一次表演中，需要从甲队抽3架到乙队组合混合表演队，并且任意指定一架为领飞机，求领飞机是绿色雾的概率。

答：。

第一步:选出甲中喷绿色烟雾的飞机，设X为选出的喷绿色烟雾的飞机的数量

第二步:

6架飞机中有1架喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞机是喷绿色烟雾的飞机的概率为：

6架飞机中有2架喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞机是喷绿色烟雾的飞机的概率为：

6架飞机中有3架喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞机是喷绿色烟雾的飞机的概率为：

所以，领飞机是绿色雾的概率为：。

12．阐述确定数学课程内容的依据。

答：在普通高中课程标准中规定数学课程标准、单元目标和具体数学知识点三者的结合。确定教学内容时，特别要注意以下三点:

（1）是数学知识的主要特征。一个数学知识点内容是极为庞杂的，应该选择该数学知识点最本质的东西作为教学的重点。

（2）是学生的需要。确定知识点的教学内容也不是由教材一个要素决定的，还涉及到学生认知发展阶段性的问题。因此也不可能是教材有什么就教什么、学什么，只能选择教材内容与学生认知发展相一致的内容作为教学内容。

（3）是编者的意图。编者的意图主要是通过例题以及课后的练习题来体现的。数学例题以及课后练习题的重要性在数学课程中要远远高于其他学科，因为数学例题以及练习题是数学课程内容建设一个不可或缺的组成部分。在其他课程中，练习０题最多只是课程内容的重现，有的只属于教学领域，作为一种教学手段，对课程本身并没有很大影响。但数学课不是这样，数学课“教什么”在相当程度上是由练习题或明或暗指示给教师的。

13．举例说明向量内容的学习对高中生理解数学运算的作用。

答：平面向量是高中数学引入的一个新概念，利用平面向量的定义、定理、性质及有关公式，可以简化解题过程，便于学生的理解和掌握。

向量运算主要作用可以提高学生针对数学运算的理解层次，学生最初接触的运算都是数与数之间的运算，而加入向量运算之后，向量运算涉及到数学元素更多，比如实数、字母，向量甚至还可以把几何图形加入运算当中，这本身对数学层次有更大的一个提高。而且向量运算对数学的思想也体现的比较多，在解析几何当中，或者是在平面几何当中，向量应用确实很方便，一个运算既有代数运算又有几何意义，但是到了立体几何，向量运算仅仅就变成算术了，算术对立体几何本身还是没有一点想象。

（1）向量在代数中的应用。根据复数的几何意义，在复平面上可以用向量来表示复数，这样复数的加减法，就可以看成是向量的加减，复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到，学了向量，复数事实上已没有太多的实质性内容，因而变选学内容也就不难理解了。另外向量所建立的数形对应也可用来证明代数中的一些恒等式、不等式问题，只要建立一定的数模型，可以较灵活地给出证题方法。

（2）向量在三角中的应用。当利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量，利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式，由于用向量解决问题时常常是从三角形入手的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理。证明:只要根据向量三角形得出关系式的两边平方，就可利用向量的运算性质得出要证的结论，它比用综合法提供的证明要简便得多。

（3）向量在平面解析几何中的应用。由于向量是作为一种有向线段，本身就是有向量上的一段，且向量的坐标可以用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的联系。平面直角坐标系内两点间的距离公式，也就是平面内相应的向量的长度公式；分一条线段成定比的分点坐标，可根据相应的两个向量的坐标直接求得；用直线的方向向量（a，b）表示直线方向比直线的斜率更具有一般性，且斜率实际是方向量在a=0时的特殊情形。另外向量的平移也可用化简二次曲线，即通过移动图形的变换来达到化简二次曲线的目的，实际上与解析几何中移轴变换达到同样的效果。

（4）向量在几何中的应用。在解决几何中的有关度量、角度、平行、垂直等问题时，用向量解决也很方便，特别是平面向量可以推广到空间用来解决立体几何问题。例如在空间直线和平面这部分内容中，解决平行、相交、包含以及计算夹角、距离等问题用传统的方法往往较为繁琐，但只要引入向量，利用向量的线性运算及向量的数量积和向量和以后，一切都归结为数字式符号运算。这些运算都有法则可循，比传统的方法要容易得多。

总之，平面向量已经渗透到中学数学的许多方面，向量法代替传统教学方法已成为现代数学发展的必然趋势。向量法是一种值得学生花费时间、精力去掌握的一种新生方法，学好向量知识可助于理解和掌握与之有关联的学科。

因此在职中数学教学中加强向量这一章的教学，为更好地学习其它知识做好必要的准备工作就显得尤为重要。但传统教学思想对向量抵触较大，许多教者认为向量法削弱了学生的空间想象能力，且学生初学向量时接受较为困难，这就要求教育工作者不断探索，找出最佳的教和学的方法，发挥向量的作用，使向量真正地面为现代数学的基础。

三、问答题（共1题，10分）

14．叙述并证明拉格朗日微分中值定理，并简述拉格朗日中值定理与中学数学内容的联系。

答：如果函数满足

（1）在开区间内可导；

（2）在闭区间内连续；

则存在使得。

证明：如果函数 在开区间内可导，在闭区间内连续，

构造辅助函数，可得：

又因为函数 在开区间内可导，在闭区间内连续，

，根据罗尔定理可知在内至少有一点使得

即：，证毕。

拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础，是应用数学研究函数在区间上整体性质的有力工具。拉格朗日中值定理在中学数学中应用非常广泛，如利用导数来研究函数的某些特性、证明不等式和方程根的存在性、描绘函数的固像、解决极值、最值等等。

四、论述题（共1题，15分）

15．叙述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，并以“是无理数”的教学过程为例说明在教学中如何体现该教学原则。

答：（1）数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性，量力性是指学生的可接受性。

这一原则，说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的提高，逐渐增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。

显然这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的，但是在学习过程中，学生的心理发展是逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平。这种心理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，而应该在不同的教学阶段，依据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨性要求，即数学教学的严谨性是相对的。

（2）在证明“是无理数”的教学过程中，对严谨性要求，应设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，要求做到推理有据，证明要步步有根据、处处有逻辑。在推理有据的同时并不排斥直观和猜想，强调思维的严谨性，允许猜想，辩证地处理好推理的有据和猜想的关系。

由于学生对无理数不熟悉，在实际教学过程中采用反证法，先假设是有理数，教学中可以由教师给出证明步骤，让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，逐步过渡到学生自己给出严格证明，最后要求达到立论有据，论证简明。“因为如果x是有理数，那么x可以写成最简分数（p，q是整数，且互质）的形式，于是，所以p也是偶数。不妨设p=2a，可得，所以q应该也是偶数，这样与p,q互质矛盾，因此，x是无理数。

在教学过程中，不能消极适应学生，降低理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织教学。

五、案例分析题（1题，20分）

阅读案例，并回答问题。

16．在“三角函数求值”的教学中，教师给出来如下问题。

已知α，β为锐角， 求cosβ的值。

教师让两位学生板书演示，他们的演示过程如下：

学生1：因为，α为锐角，所以

当时,

当时,

学生2: 因为，α为锐角，所以

由, 即

设 ,因为α为锐角,所以

则

问题:

（1）你如何评价这两位学生的解题过程。（10分）

（2）假如你是该教师，针对学生扮演的情况，如何组织进一步的教学，完成课题的教学任务。（10分）

答：（1）①学生一的解题思路从开始看是比较清晰的，利用两次,后又结合分类讨论利用两角差的余弦公式求出cosβ的值，但是分类讨论后忘记验证两种情况是否成立，原因是对公式 认识不清，掌握不全面，应该验证得出结果为：若则 所以，sinα与已知矛盾，所以。所以会与老师期望得到的结果不同。

②学生二利用两角和正弦公式，化为解一元二次方程得出两个结果，最后也是没有验证结果的正确性，和学生一犯了一样的错误。整体来说学生对三角函数公式掌握的比较牢固，运用的也比较熟练，只是在熟练的基础之上还不能更好地内化数学思想，即验证结果的成立与分类讨论的应用。

（2）首先请全班同学同桌两人为一组讨论扮演同学的答案是否正确，若对，说出解题思路以及解题亮点，若不对应该如何纠正。时间为两分钟，在此期间我会到学生中间巡场，走进学生，找到学生的疑惑点。两分钟后，请学生代表来分析此题，井说出正确结果。因为学生对此知识点掌握相对薄弱，我会在此处着重强调在得到答案之后验证的重要性，让学生从题目中总结所学到的方法。

六、教学设计题（1题，30分）

17．“基本不等式”是高中数学教学中的重要内容，请完成下列任务。

（1）在“基本不等式”起始课的“教学重点”设计中，有两种方案

①强调基本不等式在求数值中的应用，将基本不等式的应用作为重点。

②强调基本不等式的背景、过程与意义，将学生感受和体验“基本不等式”中“基本”的意义作为重点。

你赞同哪种方案？简述理由。（10分）

（2）给出 以及 的几何解释。（10分）

（3）为了让高中生充分认识“基本不等式”中“基本”的意义，作为教师应该对此有多个维度的理解，请至少从两个维度谈谈你对“基本”意义的认识。（10分）

答：（1）我更赞同第二种方案，理由如下:

①本节课定位为“基本不等式”的起始课，它是在学生已经系统地学习了不等式关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上进行教学的，学生对于“基本不等式”还处于初步感知阶段，不能一步就理解如何实现基本不等式在求解简单最大（小）值当中的应用，因此，在“基本不等式”的起始课当中，应当先让学生结合基本不等式的背景和意义进行自主探索，了解不等式的证明过程，加深印象及存在原因后再学习应用会更好。

②从新课程标准的要求出发，高中数学课程标准是指导教师进行课程安排、课程设计难易度的标尺，高考阶段的要求也是依据新课程标准来制定的，数学5当中，高中数学课程标准明确说明，基本不等式在开始阶段，应将探索并了解基本不等式的证明过程放在重点位置。

③从教材的编写来看，在基本不等式的这节一开始，是以北京召开的第24届国际数学家大会的会标准为问题的背景，提问学生“你能在这个图中找到一些相等关系或不等关系吗？”利用面积间存在数量关系，抽象出不等式，并在此基础上，从三个角度引导学生认识、证明不等式，在之后的例题应用当中，才提及“基本不等式”在解决实际问题当中是解决最大（小）值问题的有力工具。

因此，从这三点来看，基本不等式的起始课的教学重点应该采用第二种方案，即强调基本不等式的背景、过程及意义，将学生感受和体验“基本不等式”中“基本”的意义作为教学重点。

（2）的几何解释是：大正方形的面积大于四个三角形的面积和，当且仅当a=b时，等号成立（即正方形的对角线正方形分成4个等腰直角三角形，正方形的面积等于四个等腰三角形的面积和）。如图所示

 

的几何解释是：以a+b为直径的半圆，在直径AB任一点C，过C作直AB的垂线与半圆交于D点。由射影定理可得CD=，由图示显然可得CD（即一个圆的半径大于等于垂直该直径的弦的一半），即得。

（3）重要不等式的推广

掌握最简单的形式，推广到三维，在推广到多维形式。

三维形式：对于三个正数a, b, c, 有，当且仅当a=b=c时，等号成立。

多维形式：若a₁，a₂，a₃，…a_n∈R+， 则a₁+a₂+a₃+…+a_n≥，当且仅当a₁=a₂=a₃=…=a_n 时，等号成立。