2011年成人高考专科起点升本科《高等数学（一）》真题及详解

一、选择题：（第1～10小题，每道小题4分，共40分。在每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项。）

1．（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】D

【解析】由极限商的运算法则可得

2设，则＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】y＝x4，则。

3．设y＝x＋lnx，dy＝（　  ）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】y＝x＋lnx，则。

4．设y＝sinx，则＝（　　）。

A．sinx

B．sinx

C．cosx

D．cosx

【答案】A

【解析】y＝sinx，则＝cosx，。

5．（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】。

6．（　　）。

A．

B．

C．

D．0

【答案】D

【解析】被积函数x5为奇函数，积分区间[1，1]为对称区间，由定积分对称性质可知。

7．设z＝arcsinx＋ey，则（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】求时，将x看作常量，z＝arcsinx＋ey，因此。

8．在空间直角坐标系中，方程x2＋y2＝1表示的曲面是（　　）。

A．柱面

B．球面

C．锥面

D．旋转抛物面

【答案】A

【解析】在空间直角坐标系中方程x2＋y2＝1中缺少变量z，它表示的曲面为母线平行于z轴的柱面。

9．设z＝x2－3y，则dz＝（　  ）。

A．2xdx－3ydy

B．x2dx－3dy

C．2xdx－3dy

D．x2dx－3ydy

【答案】C

【解析】z＝x2－3y，则。

10．微分方程＝2y的通解为y＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】将方程＝2y分离变量得，。

二、填空题：（第11～20小题，每道小题4分，共40分。将答案填写在题中横线上。）

11．______。

【答案】e4

【解析】

12．设函数，在x＝0处连续，则a＝_______。

【答案】

【解析】由于f（x）在点x＝0处连续，故存在，且，

13．曲线y＝2x2在点（1，2）处有切线，曲线的切线方程为y＝_______。

【答案】4x－2

【解析】点（1，2）在曲线y＝2x2上，过点（1，2）的切线方程为y－2＝4（x－1），y＝4x－2。

14．设，则______。

【答案】2e2

【解析】,则

15．函数的单调减少区间为_______。

【答案】（1，1）

【解析】，则＝x2－1．令＝0，得x₁＝1，x₂＝1．当x＜1时，＞0，函数单调递增；当1＜x＜1时，＜0，函数y单调递减；当x＞1时，＞0，函数单调递增．故单调减少区间为（1，1）。

16．______。

【答案】arctanx＋C

【解析】由不定积分基本公式可知

17．_______。

【答案】1

【解析】

18．过点（1，1，2）且与平面2x－2y＋3z＝0垂直的直线方程为_______。

【答案】

【解析】所求直线与已知平面垂直，因此直线的方向向量与平面法向量平行，可知直线方向向量s＝（2，2，3），由直线的点向式方程可知所求直线方程为

即

19．设函数z＝f（x，y）可微，（x₀，y₀）为其极值点，则_______。

【答案】0

【解析】由于z＝f（x，y）可微，则偏导数必定存在，再由二元函数极值的必要条件可知，若点（x₀，y₀）为z＝f（x，y）的极值点，且，在点（x₀，y₀）处存在，则必有

20．微分方程y＝x＋1的通解为y＝_______。

【答案】

【解析】方程为可分离变量方程，，等式两边分别积分，

三、解答题：（第21～28题，共70分。解答应写出推理、演算步骤。）

21．求（本题满分为8分）

解：方法一：（洛必达法则）

方法二：（等价无穷小）

22．设函数f（x）由所确定，求．（本题满分为8分）

解：方法一：方程两边同时对x求导，得

即

故

方法二：设，

则

23．求函数y＝xex的极小值点与极小值．（本题满分为8分）

解：

方法一：

令＝0，得x＝1。

当x＜1时，＜0；当x＞1时,＞0。

故极小值点为x＝1，极小值为。

方法二：，

令＝0，得x＝1，又，。

故极小值点为x＝1，极小值为。

24．计算（本题满分为8分）

解：

　

 

25．求微分方程－9y＝0的通解．（本题满分为8分）

解：特征方程为r2－9＝0，其特征根为r₁＝3，r₂＝3，故通解为（C₁，C₂为任意常数）

26．设D是由直线y＝x与曲线y＝x3在第一象限所围成的图形．（本题满分为10分）

（1）求D的面积S；

（2）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V。

解：由，知两曲线的交点为（0，0），（1，1）和（1，1），则

（1）

（2）

27．将函数展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．（本题满分为10分）

解：因为

所以其中5x（1，1），得收敛区间

28．计算，其中D为x2＋y2＝1，y＝x及y＝0和第一象限所围成的图形．（本题满分为10分）

解：在极坐标系中，D可表示为

则