2012年成人高考专科起点升本科《高等数学（一）》真题及详解

一、选择题：（第1～10小题，每道小题4分，共40分。在每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项。）

1.（　　）。

A．

B．1

C．2

D．不存在

【答案】A

【解析】由重要极限公式，得。

2．设函数，在x＝0处连续，则a＝（　  ）。

A．1

B．0

C．－1

D．－2

【答案】C

【解析】f（x）在点x＝0处连续，则，，f（0）＝a，故a＝

－１。

3．设y＝x2，则＝（　　）。

A．

B．x

C．

D．2x

【答案】D

【解析】。

4．设y＝，则dy＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】。

5．设y＝2－cosx，则＝（　　）。

A．1

B．0

C．－1

D．－2

【答案】B

【解析】。

6．（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】。

7．（　　）。

A．e2＋1

B．e2

C．e2－1

D．e2－2

【答案】C

【解析】。

8．设z＝x2y，则＝（　　）。

A．xy

B．2xy

C．x2

D．2xy＋x2

【答案】B

【解析】。

9．微分方程有特解y＝（　　）。

A．6x

B．3x

C．2x

D．x

【答案】A

【解析】等式两边分别积分，得y＝6x＋C，因此有特解6x。

10．下列点中，为幂级数，收敛点的是（　  ）。

A．x＝－2

B．x＝1

C．x＝2

D．x＝3

【答案】B

【解析】

因此收敛半径，只有x＝1符合。

二、填空题：（第11～20小题，每道小题4分，共40分。将答案填写在题中横线上。）

11．_______。

【答案】0

【解析】

12．设y＝sin（x＋2），则＝_______。

【答案】cos（x＋2）

【解析】

13．设，则dy＝_______。

【答案】

【解析】

14．＝_______。

【答案】5sinx＋C

【解析】

15．＝_______。

【答案】ln2

【解析】

16．曲线y＝x2－x在点（1，0）处的切线斜率为_______。

【答案】1

【解析】点（1，0）在曲线y＝x2－x上，，故点（1，0）处切线的斜率为1。

17．设y＝x3＋2，则_______。

【答案】6x

【解析】

18．设z＝x2－y，则dz＝_______。

【答案】2xdx－dy

【解析】

19．过点M（1，2，3）且与平面2x－y＋z＝0平行的平面方程为_______。

【答案】2x－y＋z＝3

【解析】因为已知平面与所求平面平行，取已知平面的法线向量（2，－1，1）即为所求平面法线向量．由平面的点法式方程可知所求平面为2（x－1）－（y－2）＋（z－3）＝0，即2x－y＋z＝3。

20．设区域，则_______。

【答案】3 

【解析】积分区域D为半径为1的圆域，其面积为，因此。

三、解答题：（第21～28题，共70分。解答应写出推理、演算步骤。）

21．求（本题满分为8分）

解：利用洛必达法则，得

22．设，求．（本题满分为8分）

解：

23．设函数f（x）＝x－lnx，求f（x）的单调增区间．（本题满分为8分）

解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）。

令y＝f（x），则令＝0，解得x＝1。

当0＜x＜1时，＜0；当x＞1时，＞0。

因此函数f（x）的单调增区间为（1，＋∞）。

24．求（本题满分为8分）

解：

25．设z＝x2y—xy3，求（本题满分为8分）

解：

26．求微分方程的通解．（本题满分为10分）

解：原方程对应的齐次微分方程为

特征方程为

特征根为x₁＝－1，x₂＝3，

齐次方程的通解为

设原方程的特解为＝A，代入原方程可得＝－1。

所以原方程的通解为（C₁，C₂为任意常数）

27．设切线l是曲线y＝x2＋3在点（1，4）处的切线，求由该曲线，切线，及y轴围成的平面图形的面积S。（本题满分为10分）

解：y＝x2＋3，＝2x。

切点（1，4），（1）＝2．故切线l的方程为y－4＝2（x－1）,即

28．设，求。（本题满分为10分）

解：