第2章　序列的极限

1．求下列极限：

（1）．[北京大学研]

（2）f（x）在[－1，1]上连续，恒不为0，求．[华中师范大学研]

解法1：

　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　①

由①式及两边夹法则，．

（2）

故

解法2：

f在[－1，1]上连续；因而f（x）有界

2．设数列单调递增趋于

　　　　　　 　　　　①

证明：（1）

（2）设　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

证明：，并利用（1），求极限．[中国人民大学研]

证明：（1）（i）先设，由①式，，存在N>0，当n>N时有

特别取n＝N＋1，N＋2，……

将这些式子统统相加得

此即

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

而

由于以及③式，

（ii）再当时．由①有

　　　　　　　  　　　　　　 ④

　　　　　　 　　　　　　　 ⑤

下证递增趋于，由④知，．当n>N₁时，有

  　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

，即单调递增．由⑥式有，从而有

将这些式子统统加起来有

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑦

显然当时，，由⑤式及上面（i）的结论有

（iii）当时，只要令，则由上面（ii）可证

（2）单调递减．因为，所以．即有下界，从而（存在）．由两边取极限有此即

再求，考虑

　　　 　　　　　　　　⑧

　 　　　　　　　　　　 ⑨

　　 　⑩

由⑨⑩两式

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑪

将⑪代入⑧得

3．求极限．[中国科学院研]

解：解法1 

解法2  设

单调增，又，则有上界，故收敛．

令

得

4．已知，求证： ．[哈尔滨工业大学、武汉大学研]

证明：（1）当a＝0时，那么，存在N>0，当n>N时

（2）当a≠0时．因为

令，则对，存在N>0，当n>N时，有而

5．设，且，n＝1，2，…，证明收敛并求其极限。[西安电子科技大学研]

证明：显然有。由可得于是

故收敛，其极限为

6．设，证明：[上海交通大学研]

证明：因为，所有对任意的ε，存在N，则对任意的n>N，有则

再由可知左右两侧的极限存在且相等，都等于

7．设求．[南京大学研、山东师范大学2006研]

解：由于，根据递推关系和数学归纳法可知于是有

因此为单调递增有界数列，故存在极限，记为x。在递推关系式中令

，

解得x＝2，从而

8．设证明收敛，并用表示其极限。[北京理工大学研]

证明：所以对任意的自然数n、P，有

当n→∞时，，因为由Cauchy收敛准则可知收敛，因为

两边取极限，利用等比数列的求和公式，则

9．数列

　　　　　　　　 　　　　　　 ①

求．[湖南大学研]

解：

　　　　　　　 　　　　 ②

由②式有

把上面各式相加得

两边取极限

10．设是一个无界数列．但非无穷大量，证明：存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列．[哈尔滨工业大学研]

证明：取充分大的数M>0，则数列中绝对值不超过M的个数一定有无穷多个，（否则是无穷大量了），记A为中绝对值不超过M的元素所成集合，则A是含无限项的有界集

（1）因为满足的有无穷多项，任取一又使的有无穷多项．

取，且，如此下去，得一的子列

于是有

（2）若A中有无穷多项是相同的数a．则取其为的子列

是收敛子列．

若A无相等的无穷多项，将[－M，M]等分为二则其中必有一区间含A中的无穷多项，令其为[a，b]，取x_n1∈[a，b]，再将[a，b]等分为二，则其中必有一区间含A中无穷多项，令其为，又再将[a₁，b₁]等分为二，令含A中无穷多项的为[a₂，b₂]取且n₃>n₂，如此下去，得一子列

且．由闭区间套原理

于是

的收敛子列，或者A为有界集，应用有界数列必有收敛子列定理，知必有收敛的子列．