第1章　函　数

一、填空题

设（　　）．[浙江大学研]

A．0　　　

B．1　　　

C．　　　

D．

【答案】B

【解析】

二、解答题

1．使用确界原理证明单调递减的有界数列必有极限。[天津大学研]

证明：确界原理，即有上界的非空集必有上确界，有下界的非空集必有下确界。

设为单调递减且有界的数列，则由确界原理可知，存在。下面证该下确界就是的极限。

由下确界定义：

（1）对任意的n，有，当然成立，这ε为任意小的正数。

（2）对上述任意的ε，存在N，当n>N时，有。又因为条件（1），所以成立。

2．设S是非空集合，ξ＝infS，试证明：若ξ∈S，则S中必存在一个严格单调递减的，使得[北京航空航天大学研]

证明：若ξ＝infS，即（1）对任意的x∈S，有X≥ξ：（2）对任意的ε>0，存在，使得取，存在，使得。改变n的值，有

依次类推，有而且满足很明显，为一个严格单调递减的数列，且

3．设{xy}为所有xy乘积的集合，其中，且x≥0及y≥0．证明：

 [武汉大学研]

证明：设　　　 　　　　　①

　  　　　　　  　　　②

又

　　 　　　　　③

由，∴存在

由③有　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　④

由②，④得证

4．设．[同济大学研]

解：当

当－1≤x＜0时，

当x＜－1时，

5．证明：函数为R上的有界函数．[湖北大学2001研]

证：

∴取ε＝1，存在N＞0，当又f（x）在内连续．从而有界，即

综上两式知f（x）在R上有界．

6．设，求f（x）的定义域和f（f（－7））．[中国人民大学研]

解：由3－x＞0，3－x≠1，49－x²≥0，解得，从而f（x）的定义域为

又