3.2 Laue方程

在考虑晶体的衍射效应时，Laue将晶体的点阵结构用一维点阵模型作起点，来理解X射线和晶体的相互作用。他将一维点阵中每个点阵点看作一个原子，当X射线照射到原子上，每个原子都对射线起弹性散射，即每个点阵点都发射波长不变的球形波，这些波相互产生叠加作用。当某些方向相邻两个点的波程差等于波长的整数倍hλ时，相互叠加增强，观察到衍射强度;而当波程差不为波长的整数倍时，相互抵消，观察不到衍射强度。这就是Laue方程的基础。

设有一直线点阵其周期和晶胞的单位矢量a平行，S₀和S分别代表入射X射线和衍射X射线的单位矢量，如图3.4(a)所示。当要求由每个点阵点所代表的结构基元间散射的次生X射线互相叠加，则要求相邻点阵点的光程差为波长λ的整数倍。由图3.4(a)可见，光程差δ为OA-BP，可得：

式中H为整数。从矢量关系看：S₀，S和a间应满足下式关系：

式(3.1)和式(3.2)均为Laue方程^［2,3］。此方程规定了a和S₀的夹角为_ao时，则在和a呈_a角的方向上产生衍射。实际上以a作为轴线，和a呈_a角的圆锥面的各个方向均满足这一条件，如图3.4(b)所示。

图3.4（c）示出晶体中由单位矢量a联系的直线点阵，在X射线照射下，波程差等于波长整数倍（hλ）。即H=1,2,3,…条件下产生衍射线S₁,S₂,S₃,…的情况。

图3.4Laue方程的推导

将式(3.1)和式(3.2)推广应用于晶胞的单位矢量b和c，可得形式相同的方程式。同时满足a，b，c三个矢量联系的方程，即为圆锥面的交线，如图3.5中矢量S所示，此方向规定了晶体的衍射方向。所以，由晶胞单位矢量a，b，c规定的晶体，衍射方向由以下Laue方程组决定：

图3.5满足三维Laue方程的衍射方向S

或

上面两式中h，k，l均为整数，一组hkl称为衍射指标，它规定了特定的衍射方向。衍射指标的整数性决定了衍射方向的分立性，即只在空间某些方向上出现衍射。在这些衍射方向上，各点阵点之间入射线和衍射线的波程差必定是波长的整数倍。

从点阵原点(0，0，0)到点阵点(m，n，p)间的矢量为：

对衍射hkl而言，原点与(m，n，p)点的波程差为：

因为m，n，p和h，k，l均为整数，所以此波程差必定是波长的整数倍。满足式(3.5)的方向意味着晶体全部晶胞散射的射线都是互相加强的，这些方向就是晶体的衍射方向，而它们的衍射指标为hkl。