第3章　微分中值定理与导数的应用

学习目标

·了解曲线的凹凸性和拐点的概念；了解曲率的有关概念.

·理解微分中值定理的几何意义；理解函数极值的概念.

·掌握洛必达法则；掌握函数极值的求法；掌握函数图形的描绘.

·能运用导数判断函数的单调性，能利用导数判定曲线的凹凸性和计算拐点的坐标；

·能熟练运用洛必达法则求不定式的极限；能运用函数最值的求法解决一些简单的实际问题.

案例导入

案例　饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

你是否注意过，市场上的等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？为什么呢？是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润就越大呢？下面我们举例分析.

例如，某饮料公司制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，公司可获利0.2分，且公司能制作的瓶子的最大半径为6cm.那么瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大或最小？

根据案例中的条件，我们首先建立数学模型，每瓶饮料的利润y与瓶子半径r之间的函数关系为 ，0<r≤6.于是问题转化为求函数y= 在（0，6]上的最大值、最小值问题.

在实际生活中，我们经常会遇到“用料最省”“成本最低”“利润最大”等问题.这些问题在数学上常常归结到求某一函数的最大值和最小值问题.这类问题可以运用第2章学习的导数来解决.

本章主要介绍导数在研究函数性态和有关实际问题中的应用，给出利用导数解决一些具体问题的一般方法，这些应用的理论基础是微分中值定理.