2.6.1　微分的概念

定义　设函数y=f（x）在点x0处可导，任给自变量x在x0处有改变量Δx，当Δx有微小改变量时，把f′（x0）Δx称为函数y=f（x）在点x0处的微分，记作，即

此时称函数y=f（x）在点x0处可微.

例1　如图2-4所示，一块正方形金属薄片受温度变化影响，其边长由x0变化到x0+Δx时，

（1）求此薄片的面积在边长x0处的微分；

（2）求此薄片的面积的改变量；

（3）求此薄片的面积在边长x0处的微分与改变量相差多少.

解此薄片的面积函数为S=x2.

（1）由微分的定义，得在边长x0处的微分

（2）边长由x0变化到x0+Δx时，此薄片的面积的改变量为

（3）薄片的面积在边长x0处的微分与改变量相差

在例1中，如果x0=3，Δx=0.01，ΔS=0.0601，，它们相差0.0001.

一般地，随着Δx的绝对值越来越小，即当Δx→0时，Δy与dy之间是什么关系？它们相差多少？对此有下面的定理：

定理1　若函数y=f（x）在点x0处可微，则当f′（x0）≠0，且Δx→0时，Δy与dy是等价无穷小，即Δy～dy.

证明　因为函数y=f（x）在点x0处可微，则

且函数y=f（x）在点x0处连续、可导，于是Δx→0时，Δy→0， ，即它们都是无穷小.

又因为f′（x0）≠0，所以

则Δx→0时，Δy与dy是等价无穷小，即Δy～dy.

定理2　若函数y=f（x）在点x0处可微，则当Δx→0时，Δy-dy=ο（Δx）.

证明　因为函数在点x0处可微，所以函数y=f（x）在点x0处可导，则

根据具有极限函数与无穷小的关系，推得

Δy=f′（x0）Δx+α（Δx）Δx.

移项，得　　Δy-f′（x0）Δx=α（Δx）Δx，

且　　α（Δx）Δx=ο（Δx）.

将 代入上式，得

Δy-dy=ο（Δx）.

发现：（1）因为当Δx→0时，Δy与dy是等价无穷小且Δy-dy=ο（Δx），所以Δy≈dy.

（2）当y=x时，由函数微分定义，得dy=dx=（x）′·Δx=1·Δx=Δx，则称自变量x的改变量Δx称为自变量的微分，记作dx，于是

若函数y=f（x）在某区间内每一点都可微，则称函数y=f（x）在此区间内可微，且dy=f′（x）dx.因为dx≠0，因此，所以，函数的导数是函数的微分与自变量微分的商，简称微商.