第二节 利率风险的衡量

利率风险衡量的主要方法有：利率期限结构、持续期和凸性。

一、利率期限结构

（一）利率期限结构概述

1．利率期限结构的定义

利率期限结构是指具有同样信用级别而期限不同的债券收益率的关系，用坐标图曲线来表达便形成了收益率曲线，即期限与收益率之间的关系。

2．利率期限结构的意义

（1）利率期限结构为债券定价提供基准。各种债券的价格等于按未来市场利率把各期利息及本金进行贴现的现值，而其中市场利率的预测就是以利率期限结构为基准的。

（2）为衍生产品定价提供基准。各种衍生产品的价格其实就是未来现金流的贴现，而其中使用的贴现利率就是以利率期限结构为基准的。

3．构造利率期限结构债券的选择

（1）国债：过去人们一般选用国债来构造利率期限结构，优点是没有信用风险，不包含信用风险溢酬，可以直接比较；没有流动性风险，利率中不包含流动性溢酬。缺点是融资问题导致的收益率偏低。国债利率期限结构不是反映收益率和期限的最佳衡量工具，主要原因是具有相同期限的债券实际上不一定有相同的收益率。

（2）零息债券：零息债券的收益率，一般称为即期利率，描述即期利率和期限关系的曲线称为即期利率曲线，又由于零息债券的期限一般短于一年，其他期限的即期利率必须要通过国债实际的收益率推导出来，因此它又称为理论即期收益率曲线。

4．确定利率期限结构的几种方法

（1）息票剥离法（bootstrap method）：适用于债券市场比较发达、债券种类比较齐全的国家。后面会有应用实例。

（2）贴现因子函数估计：①线性方法：包括多项式估计和样本估计；②非线性方法：包括指数样本估计等。

（3）Carleton和Cooper的离散估计。

5．利率期限结构自身形态的微观分析

利率期限结构从形态上看可能有水平、向下凹、向上凸等。利率期限结构从变动上看可以是平行移动和非平行移动。

（1）水平因素：在利率期限结构变动中发挥主导作用。

（2）倾斜因素：影响长短收益率朝着不同方向变化。

（3）曲度因素：影响因素复杂。

（二）关于利率期限结构的主要理论

关于利率期限结构主要有两种理论，即预期理论和市场分割理论，用来为不同形状的利率期限结构提供解释。传统的利率期限结构（静态）理论：

（1）预期理论：远期利率代表着对未来利率的预期。

（2）市场分割理论：远期利率由债券的供求决定。

现在有很多理论对利率期限结构曲线的形态进行了理论解释和数学构建。

1．预期理论

预期理论（pure expectation theory，PE），也称期望理论。它的基本内容：当前利率期限结构代表了对未来利率变化的一种预期，即远期利率代表着预期的未来利率。根据远期利率是否受其他因素影响，预期理论又分纯预期理论和偏好预期理论。纯预期理论认为远期利率只受预期的未来利率的影响，而偏好预期理论则认为远期利率除了主要受预期的未来利率影响外，还受到其他因素的影响。

（1）纯预期理论

纯预期理论的基本假设：投资者希望持有债券期间收益最大；投资者对特定期限无特殊偏好，他们认为各种期限都是可以完全替代的；买卖债券没有交易成本，一旦投资者察觉到收益率差异即可变换期限；绝大多数投资者都可以对未来利率形成预期，并根据这些预期指导投资行为。

纯预期理论的基本内容：认为远期利率只代表预期的未来利率。因此，给定时间的完整期限结构反映了对各种未来短期利率的市场当期预期。

纯预期理论的理论解释：根据该理论，利率期限结构曲线向上倾斜表明市场预期短期利率上升；利率期限结构曲线平坦则表明市场预期短期利率几乎是不变的；利率期限结构曲线向下倾斜时表明市场预期短期利率下降。

纯预期理论的评价：学者们认为纯预期理论作为一种精巧的理论，可以较好地解释用收益率曲线表示的利率期限结构在不同时期变动的原因，但它最大的缺陷是忽视了投资的风险。如果远期利率是未来利率的完全反映，则债券的价格完全确知，因此投资债券是完全无风险的，这与实际显然不符。

由于上述缺陷，经济学家对纯预期理论做了进一步解释：即完全预期、局部预期和期限轮回预期。

完全预期理论：这是对纯预期理论最宽泛的解释，认为投资者对任何投资期内的收益预期是相同的，因而不必考虑所选择的期限结构。

局部预期理论：这是对纯预期理论最狭窄的解释，认为不同的债券的收益在不长的投资期内是相同的。

期限轮回预期理论：这是有关纯预期理论的最后一种解释，认为投资者在其投资期内通过滚动投资短期债券所获取的收益，与一次投资期限等同于投资期的零息债券所获取的收益是相同的。

2）偏好预期理论

偏好预期理论认为远期利率反映了市场预期的利率水平以及风险水平。根据对风险水平的不同理解，它又分为流动性偏好理论和产地偏好理论。

流动性偏好理论：它认为远期利率包括市场预期的利率水平和风险水平，并且这一升水随着期限的延长而上升。流动性偏好理论以纯预期理论为基础，加入了风险因素。它认为长期债券的利率一般要高于短期债券，是由于投资者普遍不喜欢风险，对高流动性债券的偏好将使得短期债券的利率水平低于长期债券。只有当长期利率减去平均预期利率的差额大于流动性风险升水时，投资者才会持有长期债券。长期利率取决于市场对未来短期利率预测的平均值加上该种债券由期限决定的流动性升水。

产地偏好理论：该理论与流动性偏好理论一样，认为远期利率包含市场预期的利率和风险水平，但并不认为风险升水随着到期期限的延长而增加。产地偏好理论认为资金需求和供给在既定期间内是不匹配的，一些贷款人、借款人被引导去变换期限以均衡这种不匹配时，就需要给予他们适当的风险升水补偿。那么利率期限结构曲线的形状取决于风险升水的正负。当风险升水为正时，曲线上倾；为零时是平坦；为负时是下倾；或正或负，则呈抛物线。

2．市场分割理论

市场分割理论，又称区间偏好理论，认为投资者有投资偏好。期限不同的债券市场是完全分离和独立的，每一种债券的利率水平在各自的市场上，由对该种债券的供给和需求决定，不受其他期限债券的影响。由于不同市场之间的差异以及投资者面临的众多投资限制，比如风险水平的限制、头寸的限制等，他们不会轻易地离开原先的市场而进入一个不同的市场，只有当另一种期限的债券预期收益率大于他们所偏好期限的债券预期收益率时，他们才愿意购买非偏好期限的债券，从而导致了不同市场之间的利率差异。

由于一般投资者对短期债券的偏好大于长期债券。为了让投资者购买长期债券，必须向他们支付正值的期限升水。

（三）关于利率期限结构的模型

按模型中包含的随机因子的个数可分为单因子模型和多因子模型。单因子模型中只含有一个随机因子，多因子期限结构模型涉及多个随机因子。由于多因子模型特别复杂，因此本课程主要介绍单因子模型。

在风险世界中，所有证券的预期收益率都等于无风险利率。因为风险中性的投资者并不需要额外的收益吸引他们承担风险。因此，在风险世界中，所有现金流都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。

1．现代利率期限结构均衡模型

（1）Rendleman-Bartter模型。Rendleman-Bartter模型认为利率变动遵循几何布朗运动，与股票价格所遵循的过程类似。Rendleman-Bartter模型利率变动像股票价格一样运动是不合理的，因为不符合利率均值回归这种实际现象。

（2）Vasicek模型。Vasicek模型认为瞬时利率变动遵循一个均值回归过程。瞬时利率有可能取负值，这与实际情况不相符。

（3）CIR模型。CIR模型认为瞬时利率变动围绕一个平均值波动，如果利率偏离了均值，总要回到均值。CIR模型排除了利率取负值的可能性，但系数计算复杂。

2．现代利率期限结构无套利模型

（1）He-Lee模型。He-Lee模型认为瞬时利率变动遵循一个均值约等于远期利率曲线斜率的一个过程。基本评价：He-Lee模型是一个比较简便的利率模拟方法，但存在不足：一是假定债券价格的波动性独立于时间与实际不符；二是利率存在负值的可能。

（2）Hull-White模型。Hull-White模型认为瞬时利率变动遵循一个均值依赖于时间的一个均值回归过程。He-Lee模型和Vasicek都是Hull-White模型的特例。

（3）HJM模型。HJM模型认为远期利率变动遵循一个均值和标准差都依赖于时间的一个过程，由此再来刻画即期瞬时利率。HJM模型有一些不足之处：一是瞬时远期利率不是直接可观察的，因此要应用该模型就可能比较困难；二是HJM框架中，瞬时远期利率的连续复合排除了出现对数正态过程的可能性。

二、持续期

持续期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。很多人把持续期简单地视为债券的到期期限，其实是对持续期的一种片面的理解，而对凸性的概念更是模糊。在债券市场投资行为不断规范、利率风险逐渐显现的今天，如何用持续期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。

麦考利持续期（Macaulay Duration）的概念，是美国经济学家弗里德里克•麦考利于1938年首先提出来的。它是用来对债券进行具体的数值分析，以衡量其价格对利率（或收益率）变动的敏感程度的一个指标。它的计算方法是，将债券未来各部分现金流入量的到期时间分别加权后再汇总，权重是各个现金流入量的现值，然后用这个加权的总到期时间除以所有的现金流量现值之和（即债券的价格），得出的就是麦考利持续期的数值。这个数值表面上看是该债券收益的一种平均到期时间，而奇妙之处在于，它又是债券价格对收益率变化敏感性的比例系数。要知道利率（收益率）变动时债券价格的反应，只要用麦考利持续期数值来乘以收益率变化量就可以了。假定某种债券的麦考利持续期是10，该债券的收益率在瞬间要从9%升至9.10%，那么收益率的变化是0.10，10乘以0.10得1，这个数字就是该债券价格变动的百分比数值。也就是说，当某债券的收益率可能要上升10个基点（0.1个百分点）的时候，如果债券的麦考利持续期是10，那么它的价格将下降1%。上面提到过，债券的收益率与其价格总是反方向运动的，所以上述计算过程列成公式时必须加上一个负号。由此可见，债券的麦考利持续期越大，它的价格对收益率变动的敏感性就越强。

三、凸性

在实现生活中，债券价格变动率和到期收益率变动之间并不是线性关系，持续期只不过是用线性关系进行近似估计。在收益率变动较小，或者利率期限结构平行移动时，这种近似比较准确，如果收益变动比较大，或者利率期限结构发生了非平行移动，一阶近似就会产生比较大的误差，此时就需要进行二阶项的调整。这个二阶项就是凸性。

（一）债券凸性的定义与度量

凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。凸性越大，债券价格曲线弯曲程度越大，用修正持续期度量债券的利率风险所产生的误差越大。理论上说，持续期等于债券的价格-收益率曲线的斜率，凸性则衡量了曲线的弯曲程度，表示的是价格-收益曲线的斜率的变化，用数学表示则为债券价格方程对收益率的二阶导数。严格地定义，凸性是指在某一到期收益率下，到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。可以得出以下一些推论。

（1）对于没有隐含期权的债券，凸度总是正的（大于0）。也就是说，当利率下降时，债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格将以减速度下降，这样无论在利率上升还是下降的环境中，投资者都有好处。

（2）有隐含期权的债券的凸度一般为负。这表明价格将随着利率的下降而以减速度上升，随着利率上升以加速度下降。这对投资者而言是不利的。

（3）凸性具有可加性，债券组合的凸性为各债券凸性的加权平均值，权重为债券价值占组合价值的百分比。

（二）从收益率的一个基本点变动描述凸性

我们可以把凸性定义为：

G＝比例调整因素×（因收益率上升一个基本点所产生的资本亏损＋因收益率下降一个基本点所产生的资本利得）

（三）债券凸性的特性

（1）在息票率和收益率均保持不变的情况下，债券（或贷款）凸性随到期期限的增加而提高。

（2）到期收益率和持续期相同的两种债券，凸性越大，对投资者越有利。

（3）收益率和持续期保持不变，票面利率提高，凸性越大。这种情况产生于凸性公式中的贴现效应。

（4）当利率轻度变化时，对凸性的纠正是极小的，而当利率波动时，凸性被认为是最好的性质。