第三节 等可能概型

在概率论发展的历史上，最先研究的是一类最直观、最简单的随机现象．在这类随机现象中，样本空间中的每个基本事件发生的可能性都相等，这样的数学模型我们称之为等可能概型．其中，当样本空间只包含有限个不同的可能结果（即样本点），如抛掷一枚均匀的硬币、抛掷一枚均匀的骰子等，研究这一类随机现象的数学模型我们称之为古典概型．而当样本空间是某个区域（可以是一维区间、二维平面或三维空间），如搭乘地铁等待时间、蒲丰投针问题等，研究这一类随机现象的数学模型我们称之为几何概型．

一、古典概型

一般地，古典概型的基本思路如下：

（1）随机试验的样本空间只有有限个样本点，不妨记作Ω={ω1，ω2，…，ωn}；

（2）每个基本事件发生的可能性相等，即

若随机事件A中含有nA个样本点，则事件A的概率为

古典概型是概率论发展初期确定概率的常用方法，所得的概率又称为古典概率．在古典概型中，关键在于计算样本空间及事件A中样本点的个数，所以在计算中经常用到排列组合的计算工具．

例1　抛掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数，设事件A表示“两个骰子的点数一样”，求P（A）．

解　按照定义，样本空间Ω是由两枚骰子可能出现的所有不同结果组成的．因此，Ω={（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），…，（6，6）}，共包含36个样本点，而A={（1，1），（2，2），…，（6，6）}，共6个样本点，因而

例2（抽样模型）　已知N件产品中有M件是不合格品，其余N-M件是合格品．今从中随机地抽取n件．试求：

（1）不放回抽样　n件中恰有k件不合格品的概率；

（2）有放回抽样　n件中恰有k件不合格品的概率．

解　抽样方式有两种：有放回抽样和不放回抽样，有放回抽样是抽取一件后放回，再抽取下一件，如此重复至抽取n件完成；不放回抽样是抽取一件后不放回，再抽取下一件，如此重复．

（1）先计算样本空间Ω中样本点的总数，因为是不放回抽样，从N件抽取n件，所以样本点的总数为，因为是随机抽样的，故这个样本点是等可能发生的．

再计算事件A中样本点的个数，因为事件A要求n件中恰有k件不合格品，即必须从M件不合格品中选取k件不合格品，还要从N-M件合格品中选取n-k件合格品，根据乘法原理，事件A中含有个样本点，因此可得事件A的概率为

（2）如果是有放回抽样，每一次都是从N件抽取1件，共抽n次，故样本空间Ω中样本点的总数为Nn，因为是随机抽样的，故这Nn样本点还是等可能发生的．

n件中恰有k件不合格品，可以看成在n次抽取过程中有k次抽到不合格品，考虑到这k次可以在总的n次中的任何k次抽取中得到，故有种不同的出现顺序，每次抽到不合格品都是从M件不合格品中选取1件不合格品，故有Mk种，还要从N-M件合格品中选取n-k次合格品，故有（N-M）n-k种，根据乘法原理和加法原理，事件A中含有（N-M）n-k个样本点，因此可得事件A的概率为

例3（抽奖（抓阄）模型）　今有某公司年会的抽奖活动，设共有n张券，其中只有一张有奖，每人只能抽一张，设事件A表示为“第k个人抽到有奖的券”，试在有放回、不放回两种抽样方式下，求P（A）．

解　在有放回情形中，第k个人抽与第1个人抽情况相同，因而所求概率为

在不放回情形中，样本空间的样本点总数为n（n-1）…（n-k+1），而事件A的样本点个数为（n-1）（n-2）…（n-1-（k-1）+1）·1，故所求概率为

值得注意的是，此概率值与抽样次数k无关．尽管每个人抽奖先后次序不同，但是每个人中奖的概率是一样的，大家机会相同．另外还值得注意的是，有放回抽样和不放回抽样情况下概率是一样的．

二、几何概型

几何概型是古典概型的推广，保留每个样本点发生的等可能性，但去掉了Ω中包含有限个样本点的限制，即允许试验可能结果有无穷不可列个．

一般地，几何概型的基本思路如下：

（1）随机试验的样本空间Ω是某个区域（可以是一维区间、二维平面区域或三维空间区域）；

（2）每个样本点发生的可能性相等．

则事件A的概率为

其中，m（·）在一维情形下表示长度，在二维情形下表示面积，在三维情形下表示体积．求几何概型的关键在于用图形正确地描述样本空间Ω和所求事件A，然后计算出相关图形的度量（一般为长度、面积或体积）．

例4　在［0，1］区间内任取一个数，求：

（1）这个数落在区间（0，0.25）内的概率；

（2）这个数落在区间中点的概率；

（3）这个数落在区间（0，1）内的概率．

解　以x表示取到的这个数，因为这个数都是在［0，1］区间内等可能取到，所以由等可能性可知这是一个几何概型的问题．

样本空间Ω={x：0≤x≤1}，m（Ω）=1．

（1）设事件A表示“这个数落在区间（0，0.25）内”，即A={x：0<x<0.25}，m（A）=0.25．由几何概率的计算公式，有

（2）设事件A表示“这个数落在区间中点”，即A={x：x=0.5}，m（A）=0，于是

（3）设事件A表示“这个数落在区间（0，1）内”，即A={x：0<x<1}，m（A）=1，于是

这个例子中，我们对样本空间Ω和事件A的度量采用区间线段的长度来表示，这是一维的情形．此外，这个例子的（2）和（3）告诉我们，概率为零的事件未必就是不可能事件，同理，概率为1的事件未必就是必然事件．

例5（碰面问题）　甲、乙两人约定在中午的12时到13时之间在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候另一人10分钟，过时即可离去．求两人能碰面的概率．

解　以x和y表示甲、乙两人到达咖啡屋的时间（以min为单位），在平面xOy上建立直角坐标系（见图1.7）．

因为甲、乙两人都是在12时到13时等可能到达，所以由等可能性可知这是一个几何概型的问题．样本空间

Ω={（x，y）：0≤x≤60，0≤y≤60}，m（Ω）=602．

设事件A表示“两人能碰面”，即

A={（x，y）：|x-y|<10}，m（A）=602-502．

由几何概率的计算公式，有

例6（蒲丰投针问题）　蒲丰投针试验是第一个用几何形式表达概率问题的例子．假设平面上画满间距为a的平行直线，向该平面随机投掷一枚长度为l（l<a）的针，求针与任一平行线相交的概率．

解　设M为针的中点，x为M与最近平行线的距离，φ为针与平行线的交角，

可得样本空间为

显然，设事件A表示“针与平行线相交”发生的充要条件是（见图1.8），故（见图1.9）．

由几何概率的计算公式，有

我们用n表示投针总次数，nA表示针与平行线相交的次数，可以用作为P（A）的估计值，即

于是有

这就是用随机试验方法求π值的基本公式．一般来说，试验次数越多，求得的近似解越精确．19～20世纪，历史上有一些学者曾亲自做过这个试验，用概率的方法得到圆周率π的近似值．下面是一些资料．

随着计算机的发展，可以实现对大量随机试验的计算机模拟，此方法即为在自然科学、社会科学各领域具有广泛应用的蒙特卡罗方法（Monte Carlo Method）．

习题1-3

1. 掷两枚骰子，求下列事件的概率：

（1）点数之和为7；

（2）点数之和不超过5；

（3）点数之和为偶数．

2. 一口袋中有5个红球及2个白球．从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球．设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同，求：

（1）第一次、第二次都取到红球的概率；

（2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率；

（3）两次取得的球为红、白各一的概率；

（4）第二次取到红球的概率．

3. 一个盒子中装有6只杯子，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样；接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：

（1）2只都是合格品；

（2）1只是合格品，1只是不合格品；

（3）至少有1只是合格品．

4. 一个年级三个班级分别派出6位、4位和3位同学代表学校参加区速算比赛．抽签决定首发3位同学的名单，求：

（1）首发的3位同学来自同一个班级的概率；

（2）首发的3位同学来自不同班级的概率；

（3）首发的3位同学来自两个班级的概率．

5. 一个盒子中放有编号为1～10的10个小球，随机地从这个口袋中取3个球，试分别在“不放回抽样”和“有放回抽样”两种方式下，求：

（1）3个球的号码都不超过6的概率；

（2）最大号码是6的概率．

6. 一副扑克牌将大王和小王去掉，从剩余的52张扑克牌中任取5张，求下列事件的概率：

（1）事件A=“同花”（即5张牌都是同一花色）；

（2）事件B=“顺子”（即5张牌号码连一起，例如：“A2345”，…，“10JQKA”）；

（3）事件C=“仅有一对”．

7. 将n个完全相同的小球随机地放入N个不同的盒子（n<N），设每个盒子都足够大，可以容纳任意多个球．求：

（1）n个球都在同一个盒子里的概率；

（2）n个球都在不同的盒子里的概率；

（3）某指定的盒子中恰好有k（k≤n）个球的概率．

8. 10个女生5个男生排成一列，求任意两个男生都不相邻的概率．

9. 10张签中分别有4张画圈、6张画叉．10个人依次抽签，抽到带圈的签为中签，求每个人的中签率．

10.（1）在单位圆内某一特定直径上取一点，求以该点为中心的弦长大于的概率；

（2）在单位圆内任作一点，求以该点为中心的弦长大于的概率．

11. 在圆内有一内接等边三角形，随机向圆内抛掷一个点，求该点落在等边三角形内的概率．

12. 在区间［0，1］上任取两个数，求：

（1）两数之和不小于1的概率；

（2）两数之差的绝对值不超过0.1的概率；

（3）两数之差的绝对值小于0.1的概率．

13. 在长度为T的时间段内，有两个长短不等的信号随机地进入接收机，长信号持续时间为t1（《T），短信号持续时间为t2（《T）．试求这两个信号互不干扰的概率．

14. 在长度为1的线段上任取两个点将其分成三段，求：

（1）它们可以构成一个三角形的概率；

（2）它们可以构成一个等边三角形的概率．