第二节 概率的定义及其性质

在n次试验中如果事件A出现了nA次，则称比值为这n次试验中事件A出现的频率．记为nA称为事件A发生的频数．概率的统计定义为：随着试验次数n的增大，频率值逐步“稳定”到一个实数，这个实数称为事件A发生的概率．

1933年柯尔莫哥洛夫（苏联）首次提出了概率的公理化定义，这是概率论发展史的第一个里程碑，有了这个公理化定义后，概率论得到了迅速发展．概率的公理化定义如下．

定义　设任一随机试验E，Ω为相应的样本空间，若对任意事件A，有唯一实数P（A）与之对应，且满足下面条件，则数P（A）称为事件A的概率：

（1）非负性公理　对于任意事件A，总有P（A）≥0；

（2）规范性公理　P（Ω）=1；

（3）可列可加性公理　若A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则有

由概率的三条公理，可以得到以下概率的一些重要基本性质．

性质1　P（∅）=0．

证明　由可列可加性公理，不妨取Ai=∅，i=1，2，…，则

由非负性公理，P（∅）≥0．因此，由上述可得P（∅）=0．

性质2（有限可加性）　设A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则有

证明　在可列可加性公理中，不妨取Ai=∅，i=n+1，n+2，…，则

得证．

性质3　对任意事件A，有

证明　因为事件A与互不相容，且由规范性公理和性质2可知，由此得证．

这个性质告诉我们，有时某些事件的概率直接求解较为复杂，而考虑其对立事件则相对比较简单，对这一类的问题可以利用该性质求解．

例1（生日问题）　n（n≤365）个人中至少有两个人的生日相同的概率是多少？

解　设一年以365天计，记事件A表示“n个人中至少有两个人的生日相同”，对该事件的讨论非常复杂，故我们考虑其对立事件即可以表示为“n个人的生日全不相同”，事件的发生过程比较单一，故其概率的求解就很简单，概率为

通过计算，我们发现有趣的是，当n=23时，P（A）>0.5；当n=60时，n个人中至少有两个人的生日相同的概率约为0.9922．也就是说，当有随机的60个人聚在一起，则他们中至少有两个人的生日在同一天的可能性非常大；随着n的增大，这个概率将更大．在这个例子中，当n很大时，n个人的生日全不相同可以视为小概率事件，人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（称之为实际推断原理），因此可以说，在实际情况中，虽然n个人中至少有两个人的生日相同的概率不为1，但几乎一定会发生．

性质4　若事件则P（B-A）=P（B）-P（A）．

证明　因为事件所以B=A∪（B-A），且A与B-A互不相容，由性质2有限可加性得

P（B）=P（B-A）+P（A），

即得

P（B-A）=P（B）-P（A）．

推论　若事件则P（A）≤P（B）．

证明　由非负性公理得P（B-A）=P（B）-P（A）≥0，因此P（A）≤P（B）．

值得注意的是，这个推论的逆命题不一定成立，即使P（A）≤P（B），也无法判断事件A与B的关系．

性质5（减法公式）　设A，B为任意事件，则P（A-B）=P（A）-P（AB）．

证明　A-B=A-AB，且由性质4得

P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）．

性质6（加法公式）　设A，B为任意事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）．

证明　因为A∪B=A∪（B-AB），且A与B-AB互不相容，由性质2有限可加性得

P（A∪B）=P（A）+P（B-AB）=P（A）+P（B）-P（AB）．

我们还可以将性质6的加法公式推广到多个事件的情况．例如，设A，B，C为任意的三个事件，则

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）．

更一般地，设A1，A2，…，An为任意的n个事件，则

例2　已知事件A，B，A∪B的概率依次为0.2，0.4，0.5，求概率）．

解　由性质6的加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）及已知条件可得0.5=0.2+0.4-P（AB），由此解得P（AB）=0.1．

再由性质5的减法公式得

例3　设事件A，B，C为三个随机事件，已知P（A）=0.2，P（B）=0.3，P（C）=0.4，P（AB）=0，P（BC）=P（AC）=0.1，则A，B，C至少发生一个的概率是多少？A，B，C都不发生的概率是多少？

解　因为由性质4的推论P（ABC）≤P（AB）=0及非负性公理P（ABC）≥0，可知P（ABC）=0．再由加法公式，A，B，C至少发生一个的概率为

又因为“A，B，C都不发生”的对立事件是“A，B，C至少发生一个”，所以

习题1-2

1. 已知事件A，B有包含关系，P（A）=0.4，P（B）=0.6，求：

（1）

（2）P（A∪B）；

（3）P（AB）；

（4）

（5）

2. 设A，B是两个事件，已知P（A）=0.5，P（B）=0.7，P（A∪B）=0.8，试求：

（1）P（AB）；

（2）P（A-B）；

（3）P（B-A）．

3. P（A）=0.4，P（B）=0.3，分别在（1）A，B互不相容；（2）A，B有包含关系情况时，求P（A-B）．

4. 已知P（A）=P（B）=P（C）=0.25，P（AB）=0，求：

（1）P（A∪B）；

（2）P（A∪B∪C）；

（3）

5. 设随机事件A，B，C的概率都是且求P（ABC）．

6. 设A，B是两个事件，已知P（A）=0.6，P（B）=0.7，求：

（1）在什么条件下，P（AB）取最大值？最大值是多少？

（2）在什么条件下，P（AB）取最小值？最小值是多少？

7. 对任意的随机事件A，B，C，证明：

（1）P（AB）≥P（A）+P（B）-1；

（2）P（AB）+P（AC）+P（BC）≥P（A）+P（B）+P（C）-1．