1.3*　 二元函数的基本概念、偏导数和全微分

1.3.1　二元函数的基本概念

（1）二元函数的概念

在很多自然现象及实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下.

【例1.3.1】　圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系

V=πr2h.

这里，当r，h在集合{（r，h）|r>0，h>0}内取定一对值（r，h）时，V的对应值就随之确定.

【例1.3.2】　一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系

其中R是常数.这里，当V，T在集合{（V，T）|V>0，T>T0}内取定一对值（V，T）时，p的对应值就随之确定.

上面两个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽出这些共性就可以给出二元函数的定义.

定义1.3.1　设D是平面上的一个点集.如果对每个点P（x，y）∈D，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x、y的二元函数（或点P的函数），通常记为

z=f（x，y），　（x，y）∈D

或        z=f（P），　P∈D，

其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量.

上述定义中，与自变量x、y的一对值（即二元有序实数组）（x，y）相对应的因变量z的值，也称为f在点（x，y）处的函数值，函数值的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作f（D），即

f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}.

与一元函数的情形相仿，记号f与f（x，y）的意义是有区别的，但习惯上常用记号“f（x，y），（x，y）∈D”或“z=f（x，y），（x，y）∈D”来表示D上的二元函数f. 表示二元函数的记号f也是可以任意选取的，例如也可以记为z=φ（x，y），z=z（x，y）等.

设z=f（x，y）的定义域为D.对于任意取定的点P（x，y）∈D，对应的函数值为z=f（x，y）.这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z=f（x，y）为竖坐标在空间就确定一点M（x，y，z）.当（x，y）遍取D上的一切点时，得到一个空间点集

{（x，y，z）|z=f（x，y），（x，y）∈D}，

这个点集称为二元函数z=f（x，y）的图形（图1.3.1）.通常我们也说二元函数的图形是一张曲面.

（2）二元函数的极限

下面讨论二元函数z=f（x，y）当（x，y）→（x0，y0），即P（x，y）→P0（x0，y0）时的极限.

这里P→P0表示点P以任何方式趋于点P0，也就是点P与点P0的距离趋于零，即

与一元函数的极限概念类似，如果在P（x，y）→P0（x0，y0）的过程中对应的函数值f（x，y）无限接近于一个确定的常数A，就说A是函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限.下面用“ε-δ”语言描述这个极限的概念.

定义1.3.2　设二元函数f（P）=f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点.如果存在常数A，对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得满足0<|PP0|<δ的任意的点P（x，y）∈D，都有

|f（P）-A|=|f（x，y）-A|<ε

成立，那么就称常数A为函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，记为

也记为

为了区别一元函数的极限，把二元函数的极限叫做二重极限 .

【例1.3.3】　设，求证

证　这里函数f（x，y）的定义域为D=R2/{（0，0）}，点（0，0）为D的聚点.因为

可见，∀ε>0，取，则当

总有

|f（x，y）-0|<ε

成立，所以

注意　所谓二重极限存在，是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A.因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）都无限接近于某一个定值，还不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定函数的极限不存在.下面用例子来说明这种情形.

考察函数

显然，当点P（x，y）沿着x轴趋于点（0，0）时，

又当点P（x，y）沿着y轴趋于点（0，0）时，

虽然点P（x，y）以两种特殊方式（沿着x轴或沿着y轴）趋于原点时函数的极限存在并且相等，但是并不存在.这是因为点P（x，y）沿着直线y=kx趋于点（0，0）时，有

显然它是随着k的值的不同而改变的.

关于二元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则.

（3）二元函数的连续性

明白了函数极限的概念，就不难说明二元函数的连续性.

定义1.3.3　设二元函数f（P）=f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）为D的聚点，且P0∈D，如果

则称函数f（x，y）在点P0（x0，y0）连续.

如果f（x，y）在D内每一点都连续，那么称函数f（x，y）在D上连续，或者称f（x，y）是D上的连续函数.

根据二元函数的极限运算法则，可以证明二元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处连续；二元连续函数的复合函数也是连续函数.

1.3.2　偏导数

（1）偏导数的定义及其计算法

在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于二元函数同样需要讨论它的变化率.但二元函数的自变量有两个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多.在这一节里，我们首先考虑二元函数关于其中一个自变量的变化率.对于二元函数z=f（x，y），如果只有自变量x变化，而自变量y固定（即看作常量），这时它就是x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数z=f（x，y）对于x的偏导数，即有如下定义：

定义1.3.4　设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量

f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0），

如果

　　　（1.3.1）

存在，则称此极限为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏导数，记作

例如，极限式（1.3.1）可以表示为

　　　（1.3.2）

类似地，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对y的偏导数定义为

　　　（1.3.3）

记作

或　fy（x0，y0）.

如果函数z=f（x，y）在区域D内每一点（x，y）处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f（x，y）对自变量x的偏导函数，记作

类似地函数z=f（x，y）对自变量y的偏导函数，记作

由偏导数的概念可知，f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏导数fx（x0，y0）显然就是偏导函数fx（x，y）在点（x0，y0）处的函数值；fy（x0，y0）就是偏导函数fy（x，y）在点（x0，y0）处的函数值.就像一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.

至于实际求z=f（x，y）的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看做固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题.求时，只要把y暂时看做常量而对x求导数；求时，只要把x暂时看做常量而对y求导数.

【例1.3.4】　求f（x，y）=x2+3xy+y2在点（1，2）处的偏导数.

解　把y看做常量，得

把x看做常量，得

将（1，2）代入上面的结果，就得

（2）高阶偏导数

设函数z=f（x，y）在区域D内具有偏导数

那么在区域D内fx（x，y），fy（x，y）都是x，y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数z=f（x，y）的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数.同样可以得三阶、四阶以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

【例1.3.5】　设z=x3y2-3xy3-xy+1，求

解　

从上例中可以看到，两个二阶混合偏导数相等，即.这不是偶然的，事实上，有下述定理.

定理1.3.1　如果函数z=f（x，y）的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.

1.3.3　全微分

（1）全微分的定义

由偏导数的定义知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率.根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得

f（x+Δx，y）-f（x，y）≈fx（x，y）Δx，

f（x，y+Δy）-f（x，y）≈fy（x，y）Δy.

上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对y的偏微分.

在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题.

设函数z=f（x，y）在点P（x，y）的某个邻域内有定义，P'（x+Δx，y+Δy）为邻域内的任一点，则称这两点的函数差f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）为函数在点P（x，y）对应于自变量增量Δx，Δy的全增量，记作Δz，即

Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）.　　　（1.3.4）

一般来说，计算全增量Δz比较复杂.与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量Δx，Δy的线性函数来近似地代替函数的全增量Δz，从而引入如下定义.

定义1.3.5　设函数z=f（x，y）在点（x，y）的某个邻域内有定义，如果函数在点（x，y）的全增量

Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）

可表示为

Δz=AΔx+BΔy+o（ρ）.　　　（1.3.5）

其中A，B不依赖于Δx、Δy而仅与x、y有关，，则称函数z=f（x，y）在点（x，y）可微分，而AΔx+BΔy称为函数z=f（x，y）在点（x，y）全微分，记作dz，即

dz=AΔx+BΔy.　　　（1.3.6）

如果函数在区域D内各点处都可微，那么称这函数在D内可微分.

（2）可微的条件

下面讨论函数z=f（x，y）在点（x，y）可微分的条件.

定理1.3.2　（必要条件）　如果函数z=f（x，y）在点（x，y）可微分，则该函数在点（x，y）的偏导数必存在，且函数z=f（x，y）在点（x，y）的全微分为

　　　（1.3.7）

由定理1.3.2可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件.但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微的，即有下面定理.

定理1.3.3（充分条件）　如果函数z=f（x，y）的偏导数在点（x，y）连续，则函数在该点可微分.

习惯上，我们将自变量的增量Δx、Δy分别记作dx，dy，并分别称为自变量x、y的微分.这样函数z=f（x，y）的全微分就可写为

　　　（1.3.8）

通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.