第四节　分块矩阵

在许多工程问题的矩阵计算中，为了利用矩阵所具有的某些特点，常常采用分块的方法，将大矩阵的运算化为一些小矩阵的运算。特别是对于大型矩阵的计算，当矩阵的规模超过计算机存储容量时，就必须进行分块运算。而现代计算机并行算法，在处理矩阵计算时，更离不开矩阵的分块技术。

一、分块矩阵的概念

所谓矩阵分块，就是将矩阵用若干条横线和纵线分成许多小矩阵，每个小矩阵称为原来矩阵的子阵或子块，以这些子块为元素所构成的矩阵，称为分块矩阵（Block matrix或Partitioned matrix）。

例如

若记

A11=（a11a12），A12=（a13a14a15）

A31=（a41a42），A32=（a43a44a45）

那么A可以表示为

　　 （2.14） 　　

这是以子块A11，A12，A21，A22，A31，A32为元素的分块矩阵。同样A也可以表示为如下的分块矩阵

　　 （2.15） 　　

特别地，还可以按列来分块

　　 （2.16） 　　

可见，除了划分矩阵的横线和纵线必须贯穿整个矩阵外，矩阵的分块可以是任意的。具体分块方法的选取，主要取决于矩阵自身的特点和实际问题的需要。

二、分块矩阵的运算

分块矩阵有和普通矩阵相类似的运算方法与运算性质。

（1）设矩阵A，B有相同的规模（即行、列数相等），且采用相同的分块方法，即

式中对任意i，j，Aij与Bij的行数与列数对应相同，则

（2）设k为任意常数，而

则

（3）设A是m×l矩阵，B是l×n矩阵，它们分块成

式中矩阵A列的分法与矩阵B行的分法相同，即子块Ai1，Ai2，…，Ais的列数分别等于子块B1j，B2j，…，Bsj的行数。则

其中 　　

【例2.11】　设矩阵

计算AB。

解　根据矩阵A的特点，将A分块为

这时矩阵B的行的分法必须与矩阵A的列的分法一致，但矩阵B的列的分法则可以任意。如果再将矩阵B分块为

这样就有

因为

所以得 　　

我们可以设想，如果矩阵A，B的阶数达到几百阶时，分块运算不仅减少了存储量，而且也减少了计算量。

（4）设A是分块矩阵

则A的转置矩阵

即分块矩阵转置时，既要把整个分块矩阵转置，又要把式中每一个子块转置。

（5）设A为n阶矩阵，如果A的分块矩阵只有主对角线上有非零的子块，而其余的子块都是零矩阵，即

其中Ai（i=1，2，…，r）都是方阵，则称A为分块对角矩阵（Block diagonal matrix）。

分块对角矩阵有下列性质：

①｜A｜=｜A1｜｜A2｜…｜Ar｜；

②设

式中，Ai，Bi是同阶的子方阵（i=1，2，…，r），则

③设A是分块对角矩阵，若A的每个子块Ai（i=1，2，…，r）都是可逆矩阵，则A可逆，且

【例2.12】　设矩阵

其中a≠0，b≠0，求P-1。

解　直接求一个四阶矩阵的逆矩阵工作量稍大，但若将P看作是一分块对角矩阵，即记

又A，B都可逆，且

从而

三、计算矩阵乘积时常见的分块方法

接下来，作为本节矩阵分块运算的最后一个应用，我们给出两个矩阵分块相乘时几种常见的特殊分块方法。

设有两个矩阵

现在要通过分块运算方法求出它们的乘积AB：

（1）若只将矩阵A按行分块为

则有

（2）又若只将矩阵B按列分块为

则又有

AB=A（B1B2…Bn）=（AB1AB2…ABn）

（3）若既将矩阵A按行分块，又同时将矩阵B按列分块，则还有

在不同的分块方法之下，矩阵乘积AB的表达形式也有所不同，但这三种不同形式的结论所对应的最终结果一定是相等的。

上面介绍的分块运算方法与结论，在后面几章或者在其它涉及矩阵分析的实际问题中常常要用到，大家应该力求去领会其实质。当然也可以通过例举的方法去体会上述不同分块运算的具体含意。