第三节　可逆矩阵

在平面解析几何中，我们曾经讨论过坐标之间的变换。在线性代数中我们将要更一般地研究两组变量之间的线性变换。例如

　　 （2.8） 　　

是从变量x，y到变量u，v的一个线性变换。反过来，从式（2.8）中解出x，y又有

　　 （2.9） 　　

通常称从u，v到x，y的线性变换式（2.9）是线性变换式（2.8）的逆变换。若记式（2.8）、式（2.9）中的系数矩阵分别为A，B，即

不难验证矩阵A，B满足下列性质

AB=BA=E

为此引入逆矩阵的概念。

一、可逆矩阵的概念与判定

定义2.7　设A是n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得

AB=BA=E　（2.10）

则称A是可逆的（Invertible），并称B是A的逆矩阵（Inverse of a matrix），记作B=A-1。

如果不存在满足式（2.10）的矩阵，则称矩阵A是不可逆的。

定理2.1　如果矩阵A可逆，则它的逆矩阵是唯一的。

证　设矩阵B，C都是A的逆矩阵，则有

AB=BA=E，AC=CA=E

从而　　B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C

即逆矩阵是唯一的。证毕。

可逆矩阵的例子很容易找到。例如，因为En·En=En，所以n阶单位矩阵E是可逆的，且E的逆矩阵就是E本身，即E-1=E。或更一般地，对角矩阵

当a1，a2，…，an都不等于零时，不难证明它也是可逆的，其逆矩阵是

那么n阶矩阵在什么条件下才是可逆的呢？

定义2.8　设A是n阶方阵，Aij是行列式｜A｜中元素aij的代数余子式，则称矩阵

为矩阵A的伴随矩阵（Adjoint matrix），记作A*。

【例2.8】　设

求其伴随矩阵A*，并计算AA*。

解　矩阵A中各个元素aij的代数余子式分别为

A11=3，A12=-4，A13=-2

A21=2，A22=2，A23=1

A31=2，A32=-5，A33=1

从而它的伴随矩阵

并且有

引理　设A是n阶矩阵，A*是它的伴随矩阵，则有

AA*=A*A=｜A｜E　　（2.11）

证　记

则由矩阵乘法的定义和代数余子式的性质知

所以

同理可证　　A*A=｜A｜E。

定理2.2　n阶矩阵A可逆的充要条件是：｜A｜≠0，而且此时

证　必要性。若A可逆，则AA-1=A-1A=E，两边取行列式得｜A｜｜A-1｜=1，因而｜A｜≠0。

充分性。若｜A｜≠0，从式（2.11）可得

由矩阵可逆的定义知，A可逆，且

若n阶矩阵A的行列式不为零，即｜A｜≠0，则称A为非奇异矩阵（Nonsingular matrix），否则称为奇异矩阵。上述定理说明，矩阵A可逆与矩阵A非奇异是等价的概念。

此外，定理不仅给出了矩阵可逆的条件，而且也告诉我们，对阶数不大的矩阵，可以通过伴随矩阵求它的逆矩阵。前面例2.8中的矩阵，因为它的行列式｜A｜=7≠0，所以其可逆，即逆矩阵存在，而且

推论2.1　如果AB=E（或BA=E），则A可逆，且

A-1=B

证　由AB=E，得｜A｜｜B｜=｜E｜=1，所以｜A｜≠0，从而由定理2.2可知A可逆，并且

B=EB=（A-1A）B=A-1（AB）=A-1E=A-1

对于BA=E的情形，可类似地证明。

二、逆矩阵的性质与应用

逆矩阵是许多实际问题的表述与求解中最常用的概念之一。在第一章中我们介绍了n元线性方程组的克莱姆法则。现在利用逆矩阵概念可以给出克莱姆法则的另一种更简单的表达方式。

克莱姆法则：对n元线性方程组

若记它的系数矩阵为A=（aij）n×n，常数列向量b=（bi）n×1，解向量x=（xi）n×1，则该n元线性方程组可以用矩阵形式表示为

Ax=b

如果系数矩阵A可逆，在方程两边左乘A的逆矩阵A-1，则得到该n元线性方程组Ax=b的唯一解，解是

x=A-1b

这个结论与第一章表述的克莱姆法则的结论实则上是等价的。

与克莱姆法则等价性的证明如下。

记D=｜A｜≠0，A*是A的伴随矩阵。则

现用方程组Ax=b右端的常数项b1，b2，…，bn来替换方程组系数行列式D=｜A｜中的第j列的元素而得到的行列式记为Dj（j=1，2，…，n）。并将每个Dj按其第j列展开后，即为上述最后一个（列）矩阵的第j个（行）元素。即

于是

这就是克莱姆法则的结论，但是我们看到，用逆矩阵方法来推导这一结论更容易，结论的表达也更加简洁。

此外，又设A是可逆矩阵，B，C是任意矩阵，且

AB=AC

则易证B=C，即当A是可逆矩阵时，消去律也是成立的。此外，逆矩阵还有下列运算规律。

性质2.6　设A，B为同阶可逆矩阵，k是非零常数，则

（1）（A-1）-1=A；　　（2）；

（3）（A'）-1=（A-1）'；　　（4）｜A-1｜=｜A｜-1；

（5）（AB）-1=B-1A-1。

证　仅以第（5）式为例给予证明。设A，B是可逆矩阵，则由定理2.2，｜AB｜=｜A｜｜B｜≠0，从而AB也可逆，又因为

（AB）（B-1A-1）=A（BB-1）A-1=AEA-1=AA-1=E

所以由定理2.2的推论，得

（AB）-1=B-1A-1

【例2.9】　设A，B为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，满足矩阵方程AB+E=A2+B，又知

求矩阵B。

解　将已知的矩阵方程移项变形为AB-B=A2-E，即

（A-E）B=（A-E）（A+E）　　（2.12）

因为

是非奇异矩阵（｜A-E｜=1），从而由式（2.12）两边同时左乘（A-E）-1，即得

【例2.10】　设A为n阶矩阵（n≥2），A*是A的伴随矩阵，证明｜A*｜=｜A｜n-1

证　由式（2.11），得

｜A｜｜A*｜=｜（｜A｜E）｜=｜A｜n　　（2.13）

下面分三种情况：

（1）当｜A｜≠0，即A可逆，上式两端同除以｜A｜，即得｜A*｜=｜A｜n-1；

（2）当｜A｜=0，且A=0，则A*=0，结论显然成立；

（3）当｜A｜=0，但A≠0，则必有｜A*｜=0。用反证法，假设｜A*｜≠0，即A*可逆，因而

A=（AA*）（A*）-1=（｜A｜E）（A*）-1=｜A｜（A*）-1=0

这与A≠0矛盾。所以也有｜A*｜=0=｜A｜n-1。