1.2 平面波的反射和透射

1.2.1 菲涅耳公式

当一个平面波射到光学性质不同的两个媒介界面上时将分成两个波：一个为透射波；另一个为反射波。透射波进入第二媒介内，反射波传回到第一媒介中。反射定律和折射定律只给出入射波、反射波和透射波传播方向之间的关系，而菲涅耳公式则给出了它们的振幅和相位之间的关系。菲涅耳公式首先是由菲涅耳于1823年根据光弹理论推导出来的，形式如下：A、R、T分别代表入射波、反射波和透射波；‖、⊥分别表示平行分量和垂直分量；n1、n2分别为第一媒介和第二媒介的折射率；θi、θt 分别为入射角和透射角。

任一偏振态的光均可分解成为相互垂直的分量，一般分解成由界面法线和入射光确定的入射平面内分量 （被称为平行分量或P分量） 和垂直入射平面分量 （被称为垂直分量或S分量）。平面电磁波在反射和透射时相互独立，也就是说，光波的平行分量在反射和透射时只产生平行分量，垂直分量在反射和透射时只产生垂直分量，从菲涅耳公式中也可以看出的确如此。菲涅耳公式通常写成另一种形式，即

因为θi 和θt 是实数 （全反射情况暂不考虑），式 （1.2.3）、式 （1.2.4）右边的三角因子也将是实数，所以反射波和透射波各分量的相位与入射波相应分量的相位或相等或相差π。

从式 （1.2.4） 可以看出，T‖和A‖、T⊥和A⊥始终同号，所以透射波与入射波的相位始终相等，相位在透射过程中不会发生变化。但是反射波的相位与θi、θt 的相对大小和n值有关。当n＞1时，光波从光疏媒介进入光密媒介，θi＞θt ，R⊥和A⊥异号，两个相位相差π。在相同情况下，tan（θi-θt ）为正，tan（θi+θt ）在θi+θt＞π/2时变负，R‖和A‖的相位相差π。当n＜1，光波从光密媒介进入光疏媒介时，可采用相同的方法加以分析。

以下针对几种特殊情况加以分析。

（1） 正入射

当光波正入射时，入射平面不唯一，平行分量和垂直分量的区别消失，θi=θt=0，此时菲涅耳公式简化为

其中，n=n2/n1。可见，正入射时，反射光的水平分量或垂直分量和入射光相应分量的相位差为π，振幅比不变。透射波的水平分量、垂直分量占入射波的水平分量、垂直分量相同，正透射不改变入射波的偏振态，只是振幅会变化 （n=1情况除外）。当n→1时，R‖和R⊥均趋近于0，透射光相比反射光占绝对优势；当n=1时，不存在反射，且θi=θt，即光线传播不改变方向。

（2） 线偏振光入射

偏振方位角 （振动面和入射面的夹角） 是α的线偏振光以θi 为入射角入射到两媒介分界面上发生反/透射的，如图1.4所示。

将tanαi=，tanαr=，tanαt=代入式 （1.2.3）、式 （1.2.4） 得

线偏振光入射时，反射、透射会带来振幅变化，相位不变或变化π，导致反射光和透射光的偏振态仍是线偏振光，且偏振方位角在正入射和掠射情况之外会发生变化。具体来说，这种变化为：反射时，振动面向偏离入射面的方向转动；透射时，振动面向靠拢入射面的方向转动。

（3） 圆偏振光入射

反射、透射会带来水平分量和垂直分量的振幅比发生变化。对于反射，当相位不变化时，反射光是与入射光旋向相同的正椭圆偏振光；相位变化为π时，反射光是与入射光旋向相反的正椭圆偏振光；正入射或掠射时，反射光是圆偏振光。对于透射，相位差不会发生变化，透射光仍是与入射光旋向相同的正椭圆偏振光；正入射时，透射光是圆偏振光。

1.2.2 反射率和透射率

光波的反射率与透射率Γ与入射光的偏振态相关，可以分别用平行分量和垂直分量的反射率‖、⊥和透射率Γ‖、Γ⊥表示，即

其中，

容易证明，当介质无吸收损耗时，与能量守恒定律一致，有

正入射时，式 （1.2.9）、式 （1.2.10） 简化为

其中，n=n2/n1 ，有=0，=1。可见，两种介质折射率相差越小，透射波带走的能量越多。

1.2.3 布鲁斯特定律

除θi+θt=π/2外，式 （1.2.11） 和式 （1.2.12） 中的分母都是有限的。

当θi+θt=π/2时，tan（θi+θt ）=∞，‖=0。在此情况下，反射光和透射光相

互垂直，从折射定律可以得到

式 （1.2.18） 所决定的θi 叫布鲁斯特角或者起偏角。它的意义是首先由布鲁斯特在1815年指出的，即如果光在这个角度下入射，则反射光的电矢量没有入射面上的分量。

图1.5绘出玻璃反射率随入射角θi 的关系曲线。玻璃的折射率为1.52，相应的布鲁斯特角arctan1.52=56°40′。自然光是一个物体被加温到白热化时所产生的光，振动方向杂乱无章，相应的反射率可通过对所有振动方向取平均得到。在式 （1.2.9）、式 （1.2.10） 中，cos²α和sin²α的平均值都为1/2，有

从图1.5中可以看出，反射率与偏振态相关，即≠，在入射角接近0°和90°时，ℜ‖和ℜ⊥相差不大，而在入射角θi 为布鲁斯特角θB 时，ℜ‖近0°和90°时，ℜ‖和ℜ⊥相差不大，而在入射角θi 为布鲁斯特角θB 时，ℜ‖近0°和90°时，ℜ‖和ℜ⊥相差不大，而在入射角θi 为布鲁斯特角θB 时，ℜ‖和相差最大，此时=0。当入射角θi＜θB时，反射率 数值较小，变化缓慢；当θi＞θB时，反射率 急速增大，在掠入射时接近于1。

当光波从光密介质进入光束介质时，反射率随入射角的变化与上述情况相似。图1.6给出光波从玻璃射向空气的情况。与n＞1 情况相比，不同的是，入射角θi 接近于临界角θC 时，反射率曲线的上升十分迅速；当入射角θi 为临界角θC 时，反射率可达100%。此现象被称为全反射，无透射发生。

1.2.4 金属面的反射

在金属中，电磁波与透明电介质相比的差别在于绝对介电常数、相对介电常数、折射率、波数、相速度（波传播速度） 均为复数。

其中，c为光速；σ为电导率；ε0 （ε0=8.854187×10^-12N/A²） 为真空介电常数；μ为绝对磁导率；μr 为相对磁导率；ω为圆频率或者角频率。相对磁导率μr为绝对磁导率μ和真空磁导率μ0 （μ0=4π×10^-7F/m） 之比。

导体的折射率n^′是复数，导致折射角θt、水平分量反射振幅比R‖、垂直分量反射振幅比R⊥均为复数，、也是复数。这表明，反射时，光波相位有改变，改变量既不是0，也不是π的整数倍。

可设复数折射率为

将式 （1.2.26） 和nisinθi=ntsinθt 代入式 （1.2.1） 和式 （1.2.2） 得

其中，

δ‖是反射波水平分量和入射波水平分量的相位差。δ⊥是反射波垂直分量和入射波垂直分量的相位差。可见，反射光的偏振态与入射角θi 和分界面处两介质的光学常数有关。图1.7给出在典型情况下，P=和Δ=δ‖-δ⊥随入射角θi 的变化曲线。图1.7 （a） 是在金属面上的反射；图1.7 （b） 是在透明介质面上的反射。后者的Δ值有一个不连续点，从-π突然降为零，是发生在偏振角下的反射，而在金属面上的光反射中不存在这样的突变点。同样，在介质面上，P为无穷大时，曲线陡然上升，在金属面上的光反射中也不存在这样的情况，而是被一条具有相当宽的光滑曲线所取代。

线偏振光入射在金属面上时，其反射光一般为椭圆偏振光，以下情况除外：第一，正入射 （θi=0） 时，P=1，Δ=-π，反射光仍为线偏振光；第二，掠入射 （θi=π/2） 时，P=1，Δ=0，反射光也为线偏振光；第三，以主入射角入射时，Δ=-π/2，反射光是椭圆主轴分别平行于和垂直于入射面的正椭圆偏振光。

由于金属折射率的虚部比实部大得多，因此金属表面的反射率比透明电介质要高很多，在光学技术中，经常把铝、银等蒸镀在光学元件表面上作为反射镜。表1.3给出了几种金属的光学常数。