1.1 光波的偏振态及其表征

1.1.1 光波的五种偏振态

光波实质上是一种电磁波，完整描述光波需要电场强度E、电位移密度D、磁场强度H和磁通量密度B四个参量。当光与物质发生相互作用时，光波的电场对电子的作用力远比磁场对电子的作用力大得多，所以在四个矢量中选用电场强度E定义光波的偏振态。偏振是各种矢量波共有的一种性质，用电矢量E描述空间某一个固定点所观测到的矢量波随时间变化的特性。

偏振光一般可以分为自然光、部分偏振光、椭圆偏振光、线偏振光和圆偏振光。其中，线偏振光和圆偏振光可以看成是椭圆偏振光的两种特殊情况。

光波电矢量的振动在垂直于光传播方向上的取向无规则。这种光被称为自然光或者非偏振光。电矢量在各个方向上的振动之间无固定相位关系，且各向E振动的时间平均值相等。当自然光通过媒介发生折射、反射、吸收和散射后，某一方向的振动比其他方向占优势，振动分布不再对称，这样的光被称为部分偏振光。此时，电矢量在各个方向上的振动之间仍然无固定的相位关系，但是其中某一方向上E振动的时间平均值占相对优势。如果电振动矢量的大小和方向都做有规律的变化，端点轨迹是一个椭圆，则这种光被称为椭圆偏振光。迎着光传播的方向看，当光波电矢量端点顺时针绕过一个椭圆时，这样的椭圆偏振光被称为右旋椭圆偏振光；迎着光传播的方向看，当光波电矢量端点逆时针绕过一个椭圆时，这样的椭圆偏振光被称为左旋椭圆偏振光。

单色光在自由空间的传播过程中，如果电矢量的振动方向保持不变，并只局限在某一确定平面内，则这种光被称为线偏振光或者平面偏振光。其特点是，①在垂直于光传播方向的任一平面上，E的振动轨迹是一条方位不变的直线；②在传播过程中，E的振动始终保持在一个确定的平面内。线偏振光在垂直于光传播方向的平面上可以分解为两个互相垂直的相位差δ为0或±π整数倍的线偏振光。

如果电矢量的大小保持不变，并且方向绕传播轴转动，其末端在垂直于传播方向平面上的轨迹是一个圆，则这种光被称为圆偏振光。圆偏振光在垂直于光传播方向的平面上可以分解为两个互相垂直的、振幅相等的线偏振光。

图1.1为各种相位差的椭圆轨迹。可以看出，线偏振光和圆偏振光都可看作是椭圆偏振光的特例。

1.1.2 偏振光的数学表示

假设单色偏振光波沿z轴方向传播，任意偏振态的椭圆偏振光都可认为是由x轴 （水平轴） 和y轴 （垂直轴） 方向的振动叠加而成的，而且电场矢量E随时间t正弦变化。在空间某一代表点上，电场矢量端点所描绘的曲线轨迹为

式中，ax、ay 分别为偏振光 x、y 振动分量的振幅；φx 为 Ex 分量的相位；δ（δ=φy-φx）为两个分量之间的相对相位差。

图1.2将椭圆偏振光在直角坐标系中表示出来，椭圆长轴在ξ轴上，短轴在η轴上，x轴与ξ轴之间的夹角被称为椭圆长轴方位角ψ（0≤ψ＜π）。椭圆在x、y方向振动分量的振幅分别为ax、ay，相对相位差为δ。椭圆在ξ、η方向上振动分量的振幅分别为bξ、bη。α、χ分别被称为椭圆的振幅比角和椭偏率。

两个坐标系的振动矢量分量Eξ、Eη和Ex、Ey之间的关系为

在x-y坐标系中，电矢量用Ex、Ey表示为

式中，τ=。

在ξ-η坐标系中，椭圆长轴在ξ轴上，Eξ、Eη 之间的相位差为，电矢量E用Eξ、Eη表示为

式中，最后一个等号右边的 “-” 表示右旋，“+” 表示左旋。联立式 （1.1.2）～式 （1.1.4） 可以得到ax、ay、bξ、bη、α、χ、ψ、δ之间的关系为

式中，δ=φx-φy。δ 值为正或负时，分别表示右旋椭圆偏振光和左旋椭圆偏振光。

可见，对某一椭圆偏振光而言，其参数ax、ay、bξ、bη、α、χ、ψ、δ之间的关系是确定的。根据椭圆的长、短轴bξ、bη 和取向ψ可以求出振幅ax、ay和相位差δ；反之，根据ax、ay 和δ可以得到bξ、bη 和ψ。ax、ay 和δ或bξ、bη和ψ都可以唯一确定椭圆的外形和空间取向。

1.1.3 斯托克斯 （Stokes） 向量法

表征椭圆偏振需要三个独立的量，如振幅ax、ay和相位差δ或椭圆的长、短轴bξ、bη和椭圆方位角ψ。在实用上，用斯托克斯向量表征光的偏振态更加便利。这种方法是George Stokes于1852年在关于部分偏振光的研究中引进的，用四个实数作为参数描述准单色或单色平面光波的各种偏振态。

Stokes向量的四个参数分别用S0、S1、S2 和S3 表示。它包含偏振光的振幅、相位及偏振信息。

Stokes向量的量纲是光强。四个分量是光强度的时间平均值。其物理含义为：S0表示总入射光的光强；S1表示水平、垂直分量光强的差；S2 表示45°、135°分量光强的差；S3 表示右旋、左旋圆偏振分量光强的差。表1.1给出了典型偏振光的归一化Stokes向量。

式中，六种光强Ix、Iy、I45、I135、Ir、Il 可以用ax、ay、δ表示为

式中，〈〉表示测量的时间平均值；*表示复共轭。

综合式 （1.1.6） 和式 （1.1.7），Stokes向量可用振幅ax、ay 和相位差δ表示为

当然，也可以用椭偏率χ和椭圆方位角ψ来表示Stokes向量，即

可见，椭圆长轴bξ、短轴bη、椭偏率χ、椭圆方位角ψ和Stokes向量的各分量有如下关系，即

描述偏振光的一个重要参量是偏振度 （Degree of P olarization）。偏振度定义为全偏振分量的强度与该光波总强度的比值，用DOP表示，即

此外，线偏振度 DOLP （Degree of Line Polarization） 和圆偏振度 DOCP （Degree of Circle Polarization） 分别定义为

偏振度DOP的取值范围为0～1，非偏振光的DOP 值为0，完全偏振光的DOP值为1，两部分偏振光的DOP 值大于0且小于1。完全偏振光的偏振态

可以是线偏振、圆偏振或者椭圆偏振。完全偏振光的Stokes向量一定满足=。部分偏振光可分解为完全偏振光和非偏振光之和，即

使用Stokes向量时，通常对其光强归一，归一后的Stokes向量为

偏振光的Stokes向量表征与选取的坐标相关，设一偏振光在笛卡儿坐标系xoy 中，Stokes 向量为[I Q U V] ^T ，在另一笛卡儿坐标系 x′oy′中，Stokes向量为[I′ Q′ U′ V′] ^T。坐标系x′oy′是由坐标系xoy绕原点逆时针旋转θ角得到的。E x和E y分别是偏振光在坐标系xoy中分解得到的水平分量和垂直分量。E x′和E y′分别是偏振光在坐标系x′oy′中分解得到的水平分量和垂直分量，有如下关系，即

将式 （2.1.17） 代入式 （2.1.8） 得

可见，[I Q U V]^T和其经过坐标旋转θ角后得到与[I′ Q′ U′ V′]^T之间的关系为

1.1.4 琼斯 （Jones） 向量法

1941年，琼斯 （R.C.Jones） 用一个列向量表示电场矢量的x、y分量。单色偏振光可用互为正交的两个振动分量表示。这两个分量作为向量的x、y分量元素，通常将偏振光矢量表示为下面的形式，即

这个向量被称为Jones向量，用来表示椭圆偏振光。Jones向量包含光波振幅和相位信息。其中，Ex0、Ey0表示光波电场振动在x、y轴方向上的振幅；δ1、δ2分别是两个分量的相位。

通常把强度的平方根提到向量前作为共同因子，这个归一化的向量被称为归一化Jones向量，强度单位是1。

式中，cosα=；sinα=；tanα（Ex0 /Ey0 ） 被称为振幅比；振幅比角α的定义域为（0，π/2）。

由式 （1.1.21） 可以得到几种典型偏振光的Jones向量，见表1.2。当两束同频率、同方向传播的偏振光叠加时，可由Jones向量相加求得，合成后的偏振态与两束偏振光之间的绝对相位差值和各自的光强有关。

1.1.5 邦加球

由于偏振椭圆长轴方位角ψ （椭圆取向） 和椭偏率χ可以完全确定椭圆外形和空间取向，因此偏振椭圆长轴方位角 ψ、椭偏率 χ 和 S0 可以表征Stokes的其他三个分量。0≤ψ＜π，^，χ＞0时表示右旋，χ＜0时表示左旋。

由式 （1.1.9） 可得

式 （1.1.22） 表明，光的偏振态可以用一种简单的几何图形来表示。这种表示方式由邦加 （H.P oincaré） 于1892 年提出。此几何图像被称为邦加球，是一种可以表示任意光波偏振态的图示法，可以用图形上各几何量形象地表示椭圆偏振光的各个特征量。

如图1.3所示，邦加球的半径为1，球面上任一点P的经度和纬度分别为2ψ、2χ，P点对应一种单位强度的完全偏振光，ψ、χ分别是偏振光的方位角和椭偏率。线段OP表示光波Stokes向量的第一个分量S0 ，在x、y、z轴上的投影分别表示向量的其他三个分量S1、S2、S3。邦加球上半球的各点表示右旋偏振光；下半球各点表示左旋偏振光；上下两极各对应右旋、左旋圆偏振光；球赤道上的点表示线偏振光；球赤道和x轴的交点分别表示水平线偏振光和垂直线偏振光。邦加球面上处于同一经度的偏振光具有相同的方位角，处于同一纬度的偏振光具有相同的椭偏率。

相对球中心具有对称关系的两个偏振光表示一对正交偏振光 （所谓反演对称）。邦加球表示完全偏振光时，P点在邦加球球面上。此外，邦加球还可以表示非偏振光和部分偏振光，当P点在邦加球球心时，表示非偏振光；当P点在邦加球球内时，表示部分偏振光。邦加球表示法可以用图形上各几何量形象地表示椭圆偏振光的各个特征量。