§1.1　体系运动的多维空间描述

无论是对物体的运动加以研究或是对约束加以研究，都需要引入以下的描述.这里强调的实质，乃是关于为描述物体运动而引入的坐标随时间变化的函数所应具有的性质以及它们整体性的几何表现.

1.1.1　Descartes位形空间C

对于物体运动的客观空间，我们引入一个Descartes坐标系Oxyz.为描述一个质点，需要知道它的质量m，以及每时刻的向径r（t），或者记为：

质点：｛m；r（t）：x（t），y（t），z（t）｝，

其中t∈b，b定义为由-∞到+∞的一维连续流；m=const.∈R⁺；x（t），y（t），z（t）为单值连续实函数.

以下来描述质点组：N个质点，编号为ν=1，2，…，N；都在同一个Descartes坐标系Oxyz内计算，表述为

质点组：｛m_ν；r_ν（t）：x_ν（t），y_ν（t），z_ν（t）；ν=1，2，…，N｝，

其中t∈b；m_ν=const.∈R⁺（特殊情形，可允许某些m_ν=0）；x_ν（t），y_ν（t），z_ν（t）为单值连续实函数.因此，每一时刻该质点组决定自己的位置形状——简称为位形，需要3N个数.将其表达成有序实数集合的列阵形式，即为：

c=［u₁，u₂，u₃，u₄，u₅，u₆，…，u_3N］^T（注：上角标T表示矩阵的转置.）

=［x₁（t），y₁（t），z₁（t），x₂（t），y₂（t），z₂（z），…，x_N（t），y_N（t），z_N（t）］^T.

于是我们可以引入一个由这3N个数张成的抽象空间来表现位形c，记这个抽象空间为C，称为位形空间.位形空间的度量选择有一定自由性，例如可以假定这个空间是由这3N个数构成各维的正交欧氏空间.这样，位形c的列阵具有矢量的特性，同时在C空间规定了度量：

此时，质点组每一时刻的位形刚好唯一地对应着C空间中的一个表现点c，而C空间中的任意一个点，也刚好对应着质点组的一个位形（注：这只是一般而言，实际上，由于某些实际的限制，C空间里的某些表现点并不能对应系统可能的位形.例如，由于不可入性的考虑，两质点不能同时占据客观空间的同一位置.这就说明，C空间里，满足z_ν=x_μ，y_ν=y_μ，z_ν=z_μ　ν，μ∈1，2，…，N，ν≠μ的表现点并不对应系统实际可能的位形.），表现着质点组各质点的Descartes坐标分量.因此，这个3N维的抽象空间C称为质点组的Descartes位形空间.

当质点组的位形随时间而变动时，它的位形表现点在C空间里画出了一条超曲线，即一维的轨迹.这个轨迹被称为质点组运动的c轨迹，c轨迹又称为位形空间里的轨道，它构成了位形空间以时间t为参数的纤维.

在今后所考虑的力学系统运动中，我们假定所有的作用——包括给定力的作用和约束的作用，一般都是有界的.无界的作用只允许考虑有限的几个时刻的孤立打击.在这种情况下，可以指出c轨迹的某些一般性质如下：

（1）c轨迹是连续的.因为不能设想系统的位形可以不经过一定的时间间隔而产生有限的变化，这在经典力学的意义上是明显成立的.在数学上，反映为u_ν（t），ν=1，2，…，3N诸函数为t的单值连续实函数.

（2）c轨迹可以有自交点，即重点.例如，在周期运动中明显有重点.

（3）除某些孤立的打击点和静止点而外，c轨迹在每一点可定义一方向

这就是说，在除去孤立的打击点而外，u_ν（t），ν=1，2，…，3N诸函数应该是可微的.

（4）c轨迹的方向一般是连续变化的.可见，我们不但假定了u_ν（t），ν=1，2，…，3N诸函数是分段可微，而且假定了它们是分段连续可微.拐点仅发生在方向无法确定的地方：

a.在静止点处，即

b.在有打击作用的时刻.此时有某些速度分量不连续，即

d_c（t**-0）≠dc（t**+0）.

这时，称c轨迹在t=t**时刻有真拐点.

1.1.2　事件空间E

将时间t以及该时刻所达到的位形两者“联系”在一起，就构成了一个事件.在这里，这种时间和空间的“联系”，有两类可能的观念：（1）时间和空间简单并列，各自独立.这是经典物理的观念；（2）虽然并列，但变换时相互牵连.这是相对论的观念.但无论如何，一个事件是指一3N+1个实数的有序集合，表达成为列阵的形式，即

当我们用一个3N+1维的正交欧氏空间来表现上述事件的时候，这个空间就是事件空间E.E空间和C空间不同，它的各维当中，有一维是时间t，它和别的维有性质上的不同.当质点组在运动时，它的事件点e在E空间里扫出了一条超曲线——一维轨迹，称之为系统运动的e轨迹.e轨迹的一般性质如下：

（1）e轨迹是连续的.

（2）e轨迹不可能有重点.因为同一时刻只可能有一个表现点（由于u_ν（t）函数的单值性），而不同时刻不可能形成重点.

（3）除有限的几个孤立打击点以外，e轨迹在每一点可定义一个方向

这些方向是连续变化的.

（4）e轨迹对t=const.超平面是正向穿越.这就是说，e轨迹的方向和t=const.平面的单位正法向之间的夹角小于π/2.t=const.超平面的单位正法向为

分三种情况讨论：

1.可见有｜θ｜＜π/2.

b.静止点处：有

此时d_e=［0，0，…，0，1］^T，所以t和d_e同向，夹角为零.

c.受打击处：此时有

这时，虽然d_e本身无意义，但d_e（t**-0）和d_e（t**+0）的穿越性质仍然不变.

图1.1表达了上述三种情况穿越的图像.

图　1.1

（5）e轨迹可以有拐点：在受打击处，e轨迹有真拐点.

以下讨论经典力学的事件空间和相对论力学的事件空间的对比^［7］.为了更加对称，我们记经典力学的一个事件为

e=［x₁，x₂，x₃，x₄］^T=［x，y，z，t］^T.

如果考虑两个事件，则定义它们之间的间隔ΔS为E空间中两个表现点之间的距离，即有

图　1.2

现考虑如图1.2所示的两个惯性坐标系，其中第二惯性系Ⅱ以固定速度V相对第一惯性系Ⅰ运动.当从Ⅰ，Ⅱ中分别观察同一力学事件时，得到

若考察两个力学事件，分别可以得到间隔

在经典力学里，由于事件空间E仅仅是客观空间和时间的简单联合，而Ⅰ，Ⅱ之间的空间变换是度量不变的变换，即

时间是绝对的，即Δt=Δt′.因此恒有

（ΔS）²=（ΔS′）².

这就是说，从不同的惯性坐标系去考察力学事件时，其事件空间的变换是度量不变的.这个原理是本质的，即使在相对论力学里同样成立.

相对论力学最本质的观念是把空间和时间统一在一起考虑的观念，也就是事件空间的观念.我们就是要通过把空间和时间统一在一起来变换的方式以适应相对性原理和光速不变性同时成立的物理事实.

同样考虑如图1.2所示的惯性坐标系Ⅰ和Ⅱ.观察同一物理事件，分别得到事件

首先考虑光的传播这个物理事件.比如在Ⅰ中，经过Δt时间，光的传播满足方程

（Δx₁）²+（Δx₂）²+（Δx₃）²=（cΔt）²，

其中c是光速.上式也可以改写成为

（Δx₁）²+（Δx₂）²+（Δx₃）²+［Δ（ict）］²=0.

根据光速不变性原则，在Ⅱ坐标中观察上述同一光的传播过程，同样有

则对于光的传播这一物理事件就满足了变换的度量不变性，即恒有

（ΔS）²=（ΔS′）²=0.

由于经典力学事件空间变换是度量不变的，再根据光速不变性推得相对论的零间隔是度量不变的，因此我们推广上述结果并假定，在相对论力学的领域，对一切物理事件同样有事件空间变换的度量不变性原理成立.

1.1.3　状态空间S

如果建立一个6N维的正交欧氏空间来表现上述的状态，这个空间就称为状态空间S.此时，系统的每一状态在S空间里对应着唯一的一个状态点，而反过来，S空间里的每一个点也对应着系统的一个确定的状态（注：参看第6页注释.）.

当系统的状态随着时间而变化时，系统的状态点在S空间里画出一条超曲线——一维轨迹，称之为系统运动的s轨迹.

为什么将系统的位形和速度合在一起构成“状态”呢？这是由于力学系统一般是由二阶常微分方程组来制约的：

因此，有了位形和速度合在一起的“状态”，粗略地说，就构成了唯一地决定系统运动的时续过程的条件，即能够唯一地确定系统的过去和未来.在这个意义上，状态空间这个概念有着更广泛的应用价值.

力学系统的s轨迹有一般性质如下：

（1）s轨迹在非打击时刻是连续的，可微的.在受有打击的时刻，s轨迹可能发生间断，而间断发生在速度分量上.

（2）s轨迹可以有重点.

1.1.4　状态时间空间T

将系统的状态以及发生该状态的时间联合在一起，就构成了6N+1个实数的有序集合，称为状态时间点，记为

引进一个抽象的6N+1维的正交欧氏空间来表现上述的st时，这个空间就是状态时间空间T.当系统运动时，系统对应的st点在T空间里画出一条超曲线——一维轨迹，称之为系统运动的st轨迹.

力学系统的st轨迹有一般性质如下：

（1）st轨迹是分段连续，分段光滑；

（2）st轨迹不能有重点；

（3）st轨迹对t=cosnt.超平面是正向穿越.

利用以上引入的各个空间，我们可以几何地描述系统的运动，同时也可以几何地描述和理解约束的含义，并研究约束的性质.

1.1.5　状态空间轨道的一般理论^［8］

假定我们研究一个由N个质点组成的力学系统，其Descartes位形是u=［u₁，u₂，…，u_3N］^T，Descartes速度为v=［v₁，v₂，…，v_3N］^T，这样，系统的状态空间变元为

s=［s₁，s₂，…，s_6N］^T=［u，v］^T

=［u₁，…，u_3N，v₁，…，v_3N］^T.　（1.1）

在研究系统的运动时，所有的状态变元都是时间t的函数.状态空间的引入，如果把它仅作为更形象更充分表现现实运动的工具，那么，它的各变元对时间的依赖关系是有着联系的.这种联系就是速度分量和位形分量之间的自然联系，称为协调性，即

但是，状态空间的引入并不仅仅是为了更形象更充分地表现现实运动，而是有着更深刻的意义.这个更深刻的意义在于它提供了可以研究真实运动在各种“假想运动”中特殊地位的工具.为了实现这种研究，我们让状态空间各维都具有完全的独立性，从而可以引入广义的、一般性的状态轨道，定义如下：

定义　状态空间里一般性轨道，是指函数族

其中每个函数都是连续可微的（特殊放宽者一般应给予说明）.

上述状态轨道的定义，实际上是给予状态空间各变元分量都有独立性.因此，这样定义的状态轨道是广义的，它既概括了真实运动轨道在状态空间里的表现，同时也概括了各种假想的运动.状态轨道概念的这一推广，具有重要的理论意义.

定义　状态的完全协调轨道是指一条状态轨道，且满足完全协调性条件，即

很明显，一般性的状态轨道，不一定是完全协调轨道.力学系统的任何一个现实运动，其状态轨道必然是完全协调轨道.对于任意一个状态轨道s（t），我们可以生成一系列的完全协调轨道，定义如下：

定义　任给一条状态轨道

我们可以生成一系列的轨道如下

（1）s（t）的位形生成轨道为

（3）s_uv（t）：将指标分为两组，一组按位形生成，剩下者按速度生成，这样生成的轨道为s（t）的混合生成轨道.

很明显，上述生成的轨道s_u（t），s_v（t），s_uv（t）都是状态空间里的完全协调轨道.如果s（t）轨道本身也是状态空间里的完全协调轨道，并且初始点也是s（t）轨道上的点，那么所有的s_u（t），s_v（t），s_uv（t）都将完全重合.

对于状态空间的轨道，也可以讨论其部分协调性问题.

定义　状态空间里的任一轨道，如果其分量中，对于指标为_j1，j₂，…，j_r的这些分量具有协调性，即

则称该轨道为（j₁，j₂，…，j_r）的部分协调轨道.由于具有协调性的分量为r对，所以也称之为r维协调轨道.

以下讨论状态空间轨道的变分.变分可分为等时变分和非等时变分.通常记等时变分运算为δ，记非等时变分运算为Δ.定义如下：

状态等时变分运算δ和时间微分运算d，在一定条件下其次序可以交换.这个条件就是被涉及的轨道应具有完全协调性.有以下定理：

定理　若原轨和变轨都是完全协调轨道，那么其等时交分满足dδ普遍交换性.

证明　按定义，等时变分为

上式说明，速度的等时变分等于位形等时变分的时间导数，即dδ普遍交换性成立.定理得证.

定理　若原轨是完全协调轨道，那么以下两个结论等价：

（1）对原轨的等时变分满足dδ普遍交换性；

（2）变轨是完全协调轨道.

由以上定理可知，当研究等时变分的原轨和变轨都是完全协调轨道时，dδ普遍交换性是一定成立的.dδ普遍交换性不成立的情况一定是在变分的研究中使用了状态空间里的非协调轨道.

以下讨论位形空间、状态空间、速度空间三者之间的轨道映射问题.由于轨道映射在今后的研究中起重要作用，此处作某些说明似乎是需要的.

考虑位形空间中的任一轨道

c（t）在状态空间中有自然扩张的映射轨道

此时，在状态空间映射轨道的表述中，既包含了原有的位形运动的内容，也包含了满足完全协调性的速度的内容.因而具有扩张的意味.这些速度分量的获得依赖于对时间的全导数运算，因此这种轨道映射称为时间全导数自然扩张映射，或简称为自然扩张映射，记为，即

自然扩张映射产生的状态空间轨道一定是完全协调的，当它由逆映射返回位形空间时，有唯一的确定的位形轨道作为映像，就是原来的位形轨道.状态空间里的一般性轨道，由于不一定具有完全协调性，因此不一定能进行映射，这是需要注意的.

以下考虑位形空间轨道对速度空间作单纯的时间全导数映射DJ.所谓单纯的时间全导数映射DJ，只是先把位形空间各分量u₁，u₂，…，u_3N分别看成独立的时间函数，然后对轨道的每一分量求出时间全导数导出的信息，并以这些信息作为映像.这样的像，只有速度分量的信息，而不保留原来的位形分量信息.因此，对位形轨道而言，DJ映射的像轨道是速度空间的轨道，即

时间全导数映射DJ不再有扩张的意味，它和映射的重要区别反映在逆映射上.的逆映射像只要存在，一定是一对一的.而DJ的逆映射像却是多值的，即

此时，逆映射的像c（t）是位形空间里的一束轨道.