§1.2　约束的某些数学性质

研究有约束的力学系统，是分析动力学的特征.这里所说的约束，是指加在力学系统上强制性的限制条件，而这种条件可以是对系统的位形，或事件，或状态，或状态时间表达出的限制.以下分别来加以研究.

1.2.1　几何约束

几何约束是指对系统位形或事件所加的强制性限制条件.数学上表达这种限制条件有两方面内容：

（1）系统在位形空间或事件空间生存或考查的区域D.通常它应是连通开区域.

（2）在区域D中，系统位形或事件必须满足的有限方程

这样的约束条件称为几何约束.其中（2.1）式不显含时间t，是定常几何约束.它对应的几何图像是位形空间里一张确定的超曲面.在事件空间里看，就成为一个以t方向为轴线的超柱面了.（2.2）方程中显含时间t，叫做不定常的几何约束，它在位形空间里的几何图像是随时间而变动的超曲面.如果转移到事件空间里考虑，不定常的几何约束成为一张确定的超曲面了.

值得注意的，约束的有限方程（2.1）或（2.2），根据其因子分解的构造，约束可分为单支和多支的不同情况.例如设想几何约束有限方程的f函数可分解k个不同因子，即

显然，此处的几何约束为k个分支约束联合构成：

第1分支约束：f₁=0，f₂，…，f_k取任意有限值，e∈D；

第2分支约束：f₂=0，f₁，f₃，…，f_k取任意有限值，e∈D；

………………

第k分支约束：f_k=0，f₁，…，f_k-1取任意有限值，e∈D.

既然系统的c点或e点恒满足几何约束的有限方程，因此系统运动的c轨迹或e轨迹必然位于约束超曲面上.几何上说，就是系统的c轨迹或e轨迹，构成了约束曲面的纤维.对于有多支构造的约束而言，系统的c轨迹或e轨迹通常只在自己所在的分支约束曲面上运行.但在多支约束的交汇点上将可能有复杂的情况出现.由此也可以看到，几何约束不仅对系统的位形（或事件）有了限制，相应地也同时对系统的速度分量有限制.这个限制方程可以通过将原几何约束方程沿位形轨迹（或沿事件轨迹）对时间求全导数而得到.由（2.1）式，得

（2.4）和（2.5）式称为几何约束的微商形式.可以看到，几何约束的微商形式乃是一种特殊的速度分量线性方程.（2.4）和（2.5）式可以转化为微分形式：由（2.4）式得到

我们称（2.6）和（2.7）式为几何约束的微分形式.可以明显地看到，几何约束的微分形式都是恰当微分形式.

当由几何约束的微分形式反推原来的几何约束有限方程时，我们得到：由（2.6）式推得

f（u₁，u₂，…，u_3N）=d，c∈D；

由（2.7）式推得

f（u₁，u₂，…，u_3N，t）=d，e∈D，

其中d为一任意常数.由此可见，几何约束的有限方程决定了事件空间里的一张超曲面，而几何约束的微分形式则决定了事件空间里一族超曲面，并在D域内形成分层的结构.当然，原来几何约束有限方程对应的那张超曲面应该是这族曲面当中的一张.由此可以看到，为了保证几何约束微分形式和有限形式的等价性，还必须加上初始条件的限制，以便确定积分常数.这个关系可以表达如下：

1.2.2　Pfaff约束

在本书中，对等式约束通常我们仅考虑一阶的情况（注：为保证力学系统的某些重要特征，在通常情况下，我们都保留这个限制.参见2.3.1小节.）.因此，在这个意义下最广泛的等式约束是系统状态空间里定常或不定常约束方程，如

很明显，（2.4）和（2.5）式所表达的几何约束微商形式都是（2.10）式的特殊情况.

（2.10）式可以改写成微分形式，成为

其中事件空间中的区域D是状态时间空间区域D对事件空间的投影，记为

D=ProjD.　（2.12）

具有（2.11）式形式的约束，我们称之为Pfaff约束.实际上，Pfaff约束就是一般形式下的一阶线性约束.几何约束的微分形式显然是Pfaff约束当中的一种.

在已有的传统的分析动力学研究中，往往不注意约束条件成立的特定区域，而是不加声明地将约束成立的区域扩张到全空间.由此而得到的对约束性质的判断就带有全局整体的特征.例如本书老版中的论述：

对于一般的Pfaff约束，在E空间里对系统e轨迹的限制可以分为三种情况：

（1）（2.11）式为恰当微分形式.此时Pfaff约束就是几何约束的微分形式，因而可积分成为有限形式的约束方程.这种情况的约束称为完整约束.

（2）（2.11）式为非恰当微分的可积情况.这时只要找到了积分因子，（2.11）式的Pfaff约束同样可以积分为有限形式.这种情况有人称之为半完整约束.完整约束和半完整约束也可以统称为完整约束或可积约束.

（3）（2.11）式为不可积的情况，此时称之为非完整约束.

很明显，以上论述是把约束的完整性与非完整性问题作为约束的整体性质来处理的.但实际上，约束的完整性与非完整性问题只是约束的局部性质.这种把完整约束定义为全空间完全可积的要求是过于苛刻了.相反，由此派生的非完整约束又是过于广泛了.这种所谓的“非完整约束”可能包含非常复杂的情况.例如，从大范围上来说，可能出现部分区域是完全可积的，而在另一区域却不是完全可积的复杂情形.除去这种分区域的完整性与非完整性外，还有着孤立积分流形及奇异点集的存在.这些约束的大范围性质在运动规划与控制中有重要的意义.以下我们来逐步讨论这些结果.

1.2.3　Pfaff约束的可积性定理

为定理的叙述方便起见，这里不再区分位形变量和时间变量.这样，Pfaff约束（2.11）式可写成

以下分四种情况来讨论Pfaff型（2.13）式的可积性.

1.第一种情况

（2.13）式中只有两个变元的情形，即

A（x，y）dx+B（x，y）dy=0，

A，B∈c₂，［x，y］^T∈D.　（2.14）

定理　（2.14）式的Pfaff约束在D域内一定是完整的.

证明　分两种情况讨论.

这由一阶线性偏微分方程积分的存在性定理即可知.由此得到μ（Adx+Bdy）是恰当微分，从而Adx+Bdy=0是半完整约束.定理得证.

顺便说明，本定理亦可作为下一定理的推论而得到.

2.第二种情况

（2.13）式中有三个变元的情形，即

A（x，y，z）dx+B（x，y，z）dy+C（x，y，z）dz=0，

A，B，C∈C₂，［x，y，z］^T∈D.　（2.15）

定理　（2.15）式在D域内是完整约束的充要条件是

证明　先证明（2.16）式条件的必要性.假定（2.15）式在D域内存在积分Φ（x，y，z）=λ，不失一般性，假定

则由这个积分可解得

z=z（x，y，λ），　（2.18）

从而

将（2.20）式代入上式，整理就得到条件（2.16）.

以下证明条件（2.16）的充分性，即证明在条件（2.16）成立时，过D域中的任一点，有且仅有一张积分曲面通过.用构造性证法.不失一般性，假定C≠0，此时考虑如下的偏微分方程

根据常微分方程解的存在唯一性定理，过（x₀，y₀，z₀）点在y=y₀平面有唯一的积分曲线L.

我们来证明，如果条件（2.16）成立，上面构造出的S确实是方程（2.22）和（2.23）的积分曲面.首先S：z=z（x，y）满足方程（2.23），这由构造法本身就可保证，只要再证明它满足方程（2.22）即可.为此令

注意到条件（2.16）就是（2.21）式，因此

这就证明了构造出的曲面S：z=z（x，y）确实是过（x₀，y₀，z₀）点而且满足（2.22）与（2.23）式的唯一的积分曲面.在C≠0的情况下，上述积分曲面显然也是Pfaff型（2.15）的积分曲面.从而定理证毕.

推论　Pfaff约束Adx+Bdy+Cdz=0，［x，y，z］^T∈D，若满足

则显然满足条件（2.16），在D域内一定是可积约束.

例　试证明下面约束：

Pf₁=yz（y+z）dx+zx（z+x）dy+xy（x+y）dz=0

为全空间的完整约束.

解　将此约束和（2.15）式对比，有

A=yz（y+z），B=zx（z+x），C=xy（x+y）.

经计算得到

将上式代入条件（2.16），有

yz（y+z）{x（z+x）+zx-［x（x+y）+xy］}

+zx（z+x）{y（x+y）+xy-［y（y+z）+yz］

+xy（x+y）{z（y+z）+yz-［z（z+x）+zx］}≡0

根据定理，可以断定Pf₁=0为［x，y，z］^T全空间的完整约束.

例　试讨论约束

Pf₂=dy-g（z）dx=0

何时为完整约束？何时为非完整约束？

解　将此约束和（2.15）式对比，有

A=-g（z），B=1，C=0.

经计算得到

根据判别完整性的充要条件可以知道，在考查的区域内，若g′（z）≡0，亦即g（z）=const.，则Pf₂=0在此区域内为完整约束.若g′（z）不恒为零，亦即g（z）不恒为常数，则Pf₂=0是非完整约束.

例　在研究刚体绕固定点转动时，如果用Euler角ψ，θ，φ来描述刚体位形，有运动学方程

Pf_x=ω_xdt=sinφsinθdψ+cosφdθ+0dφ.

此时

A=sinφsinθ，B=cosφ，C=0.

在θ不恒为零时，判别式不恒为零，因此Pf_x=ω_xdt一般是不可积的.Pf_y=ω_ydt，Pf_z=ω_zdt的性质类似，读者可以证明之.

如果记Pfaff约束的微分形式为ω，即

ω=Adx+Bdy+Cdz.

根据外微分的计算规律^［9］，有

从上式，并根据已经证明的定理，可以肯定，Pfaff约束ω=0在连通开区域D中为完整约束的充要条件可记为

dω∧ω=0，［x，y，z］^T∈D.

3.第三种情况

n个变元的一般性的Pfaff型约束为

其中D是任一连通开区域.

定理　（2.13）式一般性Pfaff约束在区域D内可积的充要条件是

那么一般性Pfaff约束ω=0在D区域内为完整约束的充要条件仍可表达为

dω∧ω=0，［u₁，u₂，…，u_n］^T∈D.

4.第四种情况

对于n个变元同时考虑L个线性独立的Pfaff方程

我们称（2.34）式为Pfaff约束组.Pfaff约束组的完全可积性是指存在着L个独立的积分

Frobenius定理　Pfaff约束组（2.34）在D区域内完全可积的充要条件是

推论　对Pfaff约束组（2.34），如果

那么，约束组在D区域内一定是完全可积的.

必须说明，单个来看的不可积约束，可因附加其他的完整或非完整约束而构成完整组，即形成完全可积的约束组.可举例说明如下：

例　试考虑一Pfaff约束

Pf₁=A（x，y）dx+B（x，y）dy+C（z）dz=0.

则Pf₁=0单个来看，显然是不可积约束.但若同时附加另一完整约束

Pf₂=dz=0.

则Pf₁=0约束在Pf₂=0的积分流形z=const.上，蜕化为

A（x，y）dx+B（x，y）dy=0.

显然，它也成为可积约束了.由此可见，Pf₁=0，Pf₂=0构成了完全可积组.

例　试考虑Pfaff约束组

Pf₁=（x²+y²）dx+xzdz=0，

Pf₂=（x²+y²）dy+yzdz=0.

单个来看，Pf₁=0或Pf₂=0都是不可积约束.但它们合在一起，却构成了完全可积组.不难找到它们的两个独立的积分.作

yPf₁-xPf₂=（x²+y²）xy（x^-1dx-y^-1dy）

=（x²+y²）xyd（lnxy^-1）=0，

xPf₁+yPf₂=（x²+y²）（xdx+ydy+zdz）

=（x²+y²）2^-1d（x²+y²+z²）=0.

从而得到第一积分

线性独立条件为

Ω=ω₁∧ω₂∧…∧ω_k≠0.

那么，ω₁=0，…，ω_k=0构成D区域上完全可积组的充要条件是

dω_i∧Ω=0，i=1，2，…，k，［u₁，u₂，…，u_n］^T∈D.

这个条件称为Frobenius条件.

关于状态空间线性约束可积性定理的注　状态空间里一般性的线性约束为

一般性的线性约束组Π_l何时为完整约束组，以上的Frobenius定理给出了解答.这个解答在数学上很完美，但力学意义却不甚明了.利用轨道和变分的研究，我们可以建立一阶线性约束组完整性与非完整性的新的判别定理.这个定理的力学意义比较明确，并能直接推广到一阶非线性约束情况.

1.2.4　Pfaff约束的大范围性质分析^［13］

考虑{［u₁，u₂，…，u_n］^T}空间的Pfaff约束组

传统的把上述Pfaff约束组区分为完整约束与非完整约束的整体性做法是过于粗糙了.实际上，约束的完整性与非完整性只是约束的局部性质，一个约束组ω=0在｛［u₁，u₂，…，u_n］^T｝全空间里可能有着非常复杂的结构.本小节我们给出这种复杂结构的分析方法.

1.Pfaff约束分区域的完整性与非完整性

根据上一小节的Frobenius定理，可以分别引入区域上Pfaff约束组完整性与非完整性的定义.

定义　若Pfaff约束组ω=0在n维连通开区域U的任一点p上都满足

（1）线性独立条件成立，即

Ω|_p=（ω₁∧ω₂∧…∧ωl）｜_p≠0；

（2）Frobenius条件成立，即

（dω_r∧Ω）|_p=0，r=1，2，…，l，

则称ω=0为区域U上的完整约束组，或称U为约束组ω=0的完整区域.

定义　若Pfaff约束组ω=0在n维连通开区域U的任一点p都有Frobenius条件不成立，即存在r∈（1，2，…，l），使得（dω_r∧Ω）｜_p≠0.则称ω=0为区域U上的非完整约束组，或称U为约束组ω=0的非完整区域.

以下举例来说明Pfaff约束分区域完整性与非完整性的应用.

例　首先引入函数Φ（x，y，z）∈c³：

考虑R³=｛［x，y，z］^T｝空间里的Pfaff约束

ω=Adx+Bdy+Cdz=0，

其中

A=2x，B=2y+Φx，C=2z+Φ.

分区域完整性与非完整性分析：

（1）单位球面x²+y²+z²=1内部，此时显然有

ω=2xdx+2ydy+2zdz=d（x²+y²+z²）=0.

约束方程可积分为

x²+y²+z²=const..

可见，在单位球面的内部区域，约束是完全可积的.积分流形是原点为球心的球面.不同球面上的位形点之间是不可能用满足约束的轨迹连接通达的.根据定义，显然单位球面内部区域是约束的完整区.

（2）考查单位球面的外部区域.为此，计算Frobenius判别式

图1.3中绘出了在单位球面外部Δ的取值符号区.其中有Δ>0区，也有Δ＜0区.根据定义，显然它们分别是两个非完整区.

图　1.3

（3）对于Δ=0的孤立曲面，本例中包含两支：一支是单位球面x²+y²+z²=1，另一支是在单位球面外部，但满足2z+Φ=0的曲面.这两支上的点显然不属于非完整区，因为它们满足Frobenius判别式为零.但它们也不应属于完整区域，因为它们的任意小的n维邻域中都有非完整区域中点，而不可能满足完整区域的条件.对于这样的点集，以后还要深入地讨论.

约束完整性与非完整性分区域分析的方案，随每个具体约束的性质而变化.虽然可能存在着异常复杂的Pfaff约束，但上述分区域判断的办法完全可以通过逐步细化来适应需要.实际上，这里判断Pfaff约束组的完全可积性可以逐点地来进行分析.这有以下“点域”的Frobenius定理为根据.

定理^［10-12］　假定Pfaff约束组ω=0在p点的线性独立组，即满足

Ω|_p=（ω₁∧ω₂∧…∧ωl）|_p≠0.

在上述条件下，约束组ω=0在p点n维邻域具有正规的完全可积积分流形结构的充分必要条件是：在p点的n维邻域U，使ω=0约束组在U上满足Frobenius条件

（dω_r∧Ω）｜_U=0，r=1，2，…，l.

根据上述定理，可以引入Pfaff约束组的完整点与非完整点定义如下：

定义　满足前述定理条件的点p，称为Pfaff约束的完整点；Frobenius条件不成立的点，称为Pfaff约束的非完整点.

不难证明，Pfaff约束组的完整区域全由完整点构成，非完整区域全由非完整点构成.

2.Pfaff约束组的非正规点集

上面定义的完整点和非完整点，都具有｛［u₁，u₂，…，u_n］^T｝空间中的非孤立性，即总存在该点的n维邻域，使该邻域上的所有点都有同样的完整性或非完整性.这样的点，称为Pfaff约束组的正规点.但是，Pfaff约束组还可能存在着非正规点，并且它的性质与结构对约束系统大范围性质有着重要的影响.如果记满足Frobenius条件的点集为Frobenius点集，即

那么非正规点集一定是F（ω）的子集，并且非正规点的任一n维邻域中都一定要含有非零的非完整点角域.Pfaff约束的非正规点集由以下三种点集组合而成：

（1）使Pfaff约束组蜕化，从而使［du₁，du₂，…，du_n］^T选择有特别的自由性的点，也就是满足Ω｜_p=0的奇异点集.

（2）Pfaff约束组的孤立积分流形点集.由于它形成约束的积分流形，因而它构成约束轨迹的隔离面.其上的点虽然是完全可积点，但却不是正规的完全可积点，它的每一点的任一n维邻域中都包有非零的非完整点角域.

（3）满足Frobenius条件但不是可积点的临界点集.由于它具有允许约束轨迹穿透的特征，故称之为百叶窗点集.

以下举例说明.

例　考虑R³=｛［x，y，z］^T｝空间上的Pfaff约束

ω=Adx+Bdy+Cdz=（x²+y²）dx+0dy+xzdz=0.

计算约束的Frobenius判别式

根据判别式可以看到，除三张坐标平面外，空间的其他点处都有Δ≠0.根据非完整点的定义，

这些点都是非完整点，也都是正规点.这些正规点由三张坐标平面分割成八个非完整区.对于三张坐标平面上的点，如图1.4所示，可作如下分析：

图　1.4

（1）三张坐标平面上任一点p，都有Frobenius条件成立，即（dω∧Ω）|_p=（dω∧ω）|_p=0，这样的点称为约束的Frobenius点.此处的Frobenius点都是非正规的，因为它的任何n维邻域总包含非Frobenius点.这种非正规的Frobenius点构成的点集，称为临界的Frobenius点集.

（2）三张坐标平面上任一点，不可能是完整点，因为它的三维邻域中总包含非完整点.也不可能是非完整点，因为它是Frobenius点.由此可见，三张坐标平面是约束的非正规点集.

（3）以下对由三张坐标平面构成的临界Frobenius点集或约束的非正规点集作进一步分析：

a.该点集上包含了一些点，满足条件

Ω｜_p=0.

在这些点上，Pfaff约束组不独立，发生了蜕化，放松了对［du₁，du₂，…，du_n］^T的限制.此种点称为Pfaff约束组的奇异点.对本例，奇异点应满足A=B=C=0.不难看出，整个z轴满足此条件.约束方程在这些点上蜕化，对［dx，dy，dz］^T不产生任何限制，因而可以自由选取.约束组在奇异点处的性能一般要作专门的分析.

三张坐标平面的其他点均不是奇异点.但注意到三张坐标平面全是由非完整点包围的孤立平面，其上的点若存在积分流形，则该积分流形只可能是孤立平面本身.据此，可作如下的直接检验来进行判别.

b.检查坐标平面｛p：x=0｝.不难得到，该平面是其上任一点（除去奇异点）的积分流形.上述积分流形和一般的积分流形不同，它是约束的孤立积分流形，其特点一是过其上任一点有完全的积分流形，因此属于可积点；二是其上任一点的任一n维邻域都含有不可积点.孤立积分流形上的点是约束的完全可积点，却不是正规的完全可积点.

c.检查坐标平面｛p：y=0｝，可得到本平面上的点（除去奇异点）均是不可积点的结论.这个不可积点集和非完整点集不同，它是由临界的Frobenius点构成.此种Frobenius点集由于临界性的原因，具有不形成隔离面的条件.

d.检查坐标平面｛p：z=0｝，同样得到，除去奇异点（原点）外，本坐标平面不是积分流形，而是百叶窗点集.

（4）Pfaff约束组非正规点集的分析有重要意义.在非正规点集中，孤立积分流形对轨迹有隔离作用，而奇异点处由于约束限制的放松又有可能引导轨迹穿透隔离面.因此要掌握Pfaff约束组的大范围性能，不仅应有分区的完整性与非完整性分析，而且要有非正规点集分析或临界Frobenius点集分析.

例　考虑R³=｛［x，y，z］^T｝空间上的Pfaff约束^［13］

ω=（y²-x²-z）dx+（z-y²-xy）dy+x_dz=0.

要分析它的大范围性质，需计算它的Frobenius判别式

从而在R³空间中，约束有Frobenius点集存在

z=x²+y²-xy.

图　1.5

对此可进行如下分析（如图1.5所示）：

（1）Frobenius点集将R³全空间分割为内区（Δ＜0）和外区（Δ>0），其中的点全为非完整点，构成了两个非完整区.Frobenius点集本身是孤立的临界曲面，可称为Frobenius临界曲面.

（2）Frobenius临界曲面上包含有约束的奇异线，即曲线｛p：x=0，z=y²｝，其上的点满足A=B=C=0，约束在奇异线上被释放，此时［dx，dy，dz］^T可以自由选择.

（3）Frobenius临界曲面｛p：x²+y²-xy-z=0｝上任一点（除去奇异线）的曲面法方向刚好和该处的［A，B，C］^T方向平行，因此Frobenius临界曲面是其上点的积分流形.它构成了约束的孤立积分流形.

（4）因为Frobenius临界曲面是约束的孤立积分流形，因此它对约束轨迹起隔离作用.但其上的奇异线处可以允许轨迹穿越隔离面.

本例的非正规点集不包含百叶窗点集.

3.Rⁿ全空间点集的分类分析

根据前面的讨论，可总结Pfaff约束组Rⁿ全空间的点集分类定义如下：

假定Rⁿ={［u₁，u₂，…，u_n］^T}空间上的Pfaff约束组为

图1.6给出了Pfaff约束组大范围分析中各点集的条件及相互包含的逻辑关系.

图　1.6

对于图1.3所示的例子而言，Frobenius点集包含两支：一支是单位球面x²+y²+z²=1，另一支是单位球面外部但满足2z+Φ=0的曲面.其中单位球面是半孤立积分曲面：它是约束的积分曲面，对球内不孤立，对球外部却是孤立的积分曲面.另一支Frobenius点集中包含有奇异点（x=0，y=0，2z+Φ=0），其他点都是百叶窗点集.

Pfaff约束全空间点集分析提示我们，Pfaff约束的积分流形总是其Frobenius点的联合，但Frobenius点任意联合所构成的流形却不一定是约束的积分流形.

1.2.5　约束数学方程与约束流形的一般讨论

1.讨论约束在事件空间里表达和状态时间里表达的互相映射问题

几何约束可以在事件空间里用一个超曲面加以刻画.假定此超曲面的数学方程为

f（u₁，u₂，…，u_3N，t）=0.　（2.38）

几何约束也可以在状态时间空间里加以刻画.产生这种刻画的本质观念是应用位形运动轨道的概念，即认为几何约束在事件空间里的超曲面实际上是由系统运动的一族位形轨道作为纤维所构成，这族位形轨道的每一轨道都是满足几何约束超曲面方程的.因此，认为几何约束超曲面方程（2.38）中，都有

u_i=u_i（t），i=1，2，…，3N.

从而，可以应用时间全导数映射DJ，得到

应该注意到，几何约束的DJ映射的象需要在状态时间里表达，它是表达一族位形轨道的映射关系，和单一位形轨道的映射关系不一样，单一位形轨道的DJ映射是用速度空间里的轨道来表达.这是两者区别之处.对于状态时间空间里如（2.39）式的一阶线性约束，其DJ的逆映射在事件空间里是存在的，但不再是原来的唯一的一张超曲面f（u₁，u₂，…，u_3N，t）=0，而成为一族的几何约束f（u₁，u₂，…，u_3N，t）=c，其中c为任意常数.表达这个逆映射关系为

应该注意到，这种DJ^-1映射由状态时间空间里单个的一阶线性约束产生出事件空间里几何约束族的原因，是和1.1.5小节中所述的轨道逆映射中扩张成为一束轨道直接相关.

状态时间空间里的一个一般性线性约束方程为

其中D是我们研究的约束成立的区域.

这种一般性的一阶线性约束是否在事件空间里有自己的逆象，这是一个问题.根据Frobenius定理，在D区域上，利用dψ∧ψ是否为零作判据，可将状态时间空间里的一阶线性约束分为可积与不可积两种.如果可积，则DJ^-1可以进行.如果不可积，则DJ^-1不可进行.

2.研究状态时间空间里约束数学方程与约束流形的概念及相互关系

假定被研究的力学系统的位形变量为［u₁，u₂，…，u_3N］^T，速度变量为［v₁，v₂，…，v_3N］^T，时间变量为t，记实函数ψ为R^2×3N+1→R，考查区域为D，一个状态时间空间的约束数学方程表达为

ψ（u，v，t）=0，（u，v，t）∈D.

一个状态时间空间的一阶约束数学方程组表达为

ψ_r（u，v，t）=0，r=1，2，…，L＜3N，（u，v，t）∈D.

应该注意到，约束数学方程是力学系统约束表达的外在形式.由于数学方程表达的灵活性，约束的这种表达不是唯一的.

刻画约束的本质是约束流形.所谓约束流形，是指在我们所考查的区域D上，满足约束数学方程的状态时间的点所组成的几何对象.对约束的数学方程组有以下的等价概念：

如果有以下两个状态时间空间约束方程组

Π：ψ_r（u，v，t）=0，r=1，2，…，L＜3N，（u，v，t）∈D；

K：Φ_r（u，v，t）=0，r=1，2，…，L＜3N，（u，v，t）∈D.

满足以下条件：在考查的区域D上，对任一状态时间点p∈D，都有

若p∈Π⇒p∈K；且若p∈K⇒p∈Π，

则称Π和K在区域D上为等价的约束数学方程组.它们在D上实际上有着相同的约束流形.

很明显，完全相同的约束数学方程组一定是等价的，但等价的约束数学方程组并不一定相同.等价的约束数学方程组有着相同的约束流形.约束流形刻画约束的本质特性，而约束数学方程组只不过是它外在的表达形式.这种表达形式不是唯一的.

为了研究的方便，对约束数学方程表达中应用的函数有以下基本的设定：

考虑状态时间空间中的约束数学方程组

Π：ψ_r（u，v，t）=0，r=1，2，…，L＜3N，（u，v，t）∈D，

其中ψ_r（u，v，t）是一般性函数，但通常要求满足以下条件：

（1）在D区域中没有奇点；

（2）在D区域中有二级连续偏导数.

3.约束数学方程组的因子结构

约束的数学方程表述虽然只是约束表达的外在形式，并且是不唯一的，但它却是我们表达和研究约束最常见最方便的形式.因此，需要对约束数学方程组的结构进一步加以讨论.

（1）因子分解与可去因子.

考虑某一个状态时间空间的约束数学方程

ψ（u，v，t）=0，（u，v，t）∈D.

假定在区域D上，函数ψ有如下的因子分解式

ψ=ψ₁ψ₂…ψ_j，（u，v，t）∈D.

则称每个ψ_i（i=1，2，…，j）为ψ在D上的因子函数.在约束数学方程中，并不是每个因子函数对决定约束流形都有贡献，其中有的因子是可以丢弃的.这有以下定理：

定理　如果在区域D上，某因子函数取值恒不为零，则在约束方程表达中，该因子可以丢弃.这样的因子称为可去因子.

对于函数ψ，在丢弃所有的可去因子之后，有两种可能的情况：一种是只剩下一个唯一的因子函数，另一种是仍然有多个因子函数.第一种情况为单因子约束数学方程，第二种为多因子约束数学方程.

（2）单支约束流形与多支约束流形.

试考查某一状态时间空间的约束流形，其约束数学方程组为

Π：ψ_r（u，v，t）=0，r=1，2，…，L＜3N，（u，v，t）∈D.

考查的第一步是丢弃所有的可去因子.如果在丢弃所有的可去因子之后，Π的每一约束方程函数全是单因子的，则Π流形为“单支的状态时间空间约束流形”.反之，如果Π的约束方程函数中仍有某一个为多因子函数，则Π为“多支的状态时间空间约束流形”.多支的约束流形是由分支约束流形组合而成.任一分支约束流形为

4.状态时间空间约束流形的局部分解定理

以上关于状态时间空间约束流形的讨论是在整个D区域上考查的.如果我们局限在D区域上某一状态时间点p的邻域中考查，则可以有进一步的结果.

首先证明以下定理：

单支激活定理　考虑某个状态时间空间约束流形，其数学方程组为

根据以上单支激活定理，有一个重要推论：对于任意的状态时间空间约束流形

Π：ψ_r（u，v，t）=0，r=1，2，…，L＜3N，（u，v，t）∈D.

如果在D上某点p满足约束，且p点为Π的非奇异点，则Π在p点邻域不可能有两个或两个以上不同的积分流形.对此结论亦可用反证法证明.如果Π在p点邻域有两个不同的积分流形，分别记为Γ₁（u，t），Γ₂（u，t），将它们映射到状态时间空间，记为

Π₁=DJ［Γ₁（u，t）］，

Π₂=DJ［Γ₂（u，t）］.

显然Π₁，Π₂必然都是Π的因子约束，并且都包含p点，因而Π在p点必然是奇异的，这就导致矛盾.

以下考虑状态时间空间一般性约束的局部特性研究.设有状态时间空间的一般性约束方程组

Π：ψ_r（u，v，t）=0，r=1，2，…，L＜3N，（u，v，t）∈D.

假定某状态时间点p∈D，且满足约束，满秩，我们想研究约束流形Π在p点邻域的特性.对于这种研究，第一步简化，是丢弃ψ_r的所有D上的可去因子.第二步简化，是丢弃所有的p点的“局部可去因子”.所谓p点的局部可去因子，满足：（1）它是ψ_r的因子；（2）它在p点取值不为零.完成以上简化后，假定约束方程组成为

Φ_r（u，v，t）=0，r=1，2，…，L＜3N，（u，v，t）∈p点的邻域.

此时，剩下的Φ_r，若有多因子，则每个因子都应被p所满足.但根据p点为非奇异点的假定，只可能有一个因子被满足，因此Φ_r（u，v，t）实际上只可能是单因子函数.并且仍有满秩的特性.

1.2.6　纯非完整系统与可达性

完整约束与非完整约束重要的区别之一反映在可达性上.

应该说明的是，在研究的约束是Pfaff约束情况下，任一P点都可以当做出发点.若研究的约束是有限形式，则显然P点应该在约束曲面上，否则过P点的任一轨线都不满足约束方程.

P点的所有可达点集合，称为P点在约束作用下的可达区域，又称为可达子空间.

通过事件空间简单的平移变换，可以把任一点P的可达区域问题化为原点的可达区域问题.此时，我们应注意到，简单的平移变换既不会改变约束条件的可积性，也不会改变可达区域的性质.变换前后的所有情况都只是简单的平移而已.因此，不失一般性，我们用考查原点的可达区域性质作为代表.

定理　设系统的事件变元为u₁，u₂，…，u_n，受有Pfaff约束

如果约束是完整的，并且原点不是约束方程积分的孤立点（注：试考虑Pfaff约束的积分为的情形.），那么从原点出发的可达区域维数是n-1，即事件空间维数减去1.

证明　因为约束是完整的，所以有积分

f（u₁，u₂，…，u_n）=c，

其中c是积分常数.这是一族积分曲面.记f（u₁，u₂，…，u_n）=c₀曲面过原点的一叶为σ，其中c₀=f（0，0，…，0）.由于从原点出发的任一满足约束的轨线必在积分曲面上，故原点的可达点Q必在σ上.又因σ上的任一点总可以用轨线和原点相联（否则σ不是连通的一叶曲面），故恒为原点的可达点.由此可见，σ是原点的可达区域，其维数为n-1.

推论　在Oxyz空间有约束为Adx+Bdy+Cdz=0.若此约束是可积的，并且原点不是约束方程积分的孤立点，则原点的可达区域为一过原点的曲面，维数为2，如图1.7所示.

例　试求Pfaff约束

xdx+ydy-（z-1）dz=0

从原点出发的可达区域.

解　此Pfaff约束的积分为

根据过原点的条件，定出

c₀=f（0，0，0）=-1/2.

积分曲面的方程为

x²+y²-（z-1）²=-1，

这是双叶双曲面.由原点出发的可达区域是此曲面的一叶σ，如图1.8所示.

图　1.7

图　1.8

定理　设xyz空间，受有约束

Adx+Bdy+Cdz=0.

若此约束是全空间不可积的，则全空间是原点的可达区域.

证明　为证明此定理，我们应用Pfaff的引理：对全空间不可积的约束

Adx+Bdy+Cdz=0，

一定可以经过空间的一一变换，将约束化为标准形^［14］.如果变换后的变量仍记做（x，y，z），则约束的标准形为

-zdx+dy+0dz=0.　（2.40）

现证明全空间都是原点的可达区域.为此，取空间里任一点（x₁，y₁，z₁），x₁≠0.在xy平面上作一函数y=f（x），使

（2.42）式定义的轨线满足如下条件：

（1）过原点；

（2）当x=x₁时，

定理证毕.

以上讨论的是全空间不可积约束的可达性.依据1.2.4小节中的分析，已知Pfaff约束的完整性与非完整性是约束的局部性质，因此，也可以讨论区域上非完整约束的可达性问题.可以设想，单个Pfaff约束在连通的非完整区域内，任意两点之间应该是可达的.但是对于Pfaff约束组而言，非完整区域内的完全可达性成立还应该增加要求：该Pfaff约束组内约束的任意线性组合不会产生可积约束.具有这种性质的Pfaff约束组在该区域内我们称之为纯非完整约束系统.明确定义如下：

定义　考虑N个变元的状态空间｛［x₁，x₂，…，x_N］^T｝，在区域D上有Pfaff约束组

Π：ω_i=0，i=1，2，…，n＜N-2，［x₁，x₂，…，x_N］^T∈D.

假定上述约束都是相互独立的，即

Ω=ω₁∧ω₂∧…∧ω_n≠0，［x₁，x₂，…，x_N］^T∈D，

且是D上的非完整组.作Π约束组n个约束的线性组合约束

则称Π为区域D上的纯非完整约束系统.

不是纯非完整系统的非完整约束组，就好像具有筋膜的肌肉一样，有着隔离面，通过这些隔离面把整个非完整区分成几个子区.这些隔离面实际上就是非完整约束通过线性组合形成的可积约束的积分曲面.

下面以四变元状态空间、两个Pfaff约束组成的约束组为例，即

Π：ω₁=0，ω₂=0.

记

Ω=ω₁∧ω₂，

Δ₁₁=dω₁∧ω₁，Δ₁₂=dω₁∧ω₂，

Δ₂₁=dω₂∧ω₁，Δ₂₂=dω₂∧ω₂.

Π的线性组合约束

ω₃=φ₁ω₁+φ₂ω₂=0.

纯非完整系统举例：考虑四状态变元［x，y，z，s］^T，约束组为

Π：ω₁=dz+ydx=0，ω₂=ds+zdx=0，

D为全空间.作以下计算

Ω=ω₁∧ω₂=（dz+ydx）∧（ds+zdx）

=dz∧ds+zdz∧dx+ydx∧ds≠0，

dω₁=d（dz+ydx）=dy∧dx，

dω₂=d（ds+zdx）=dz∧dx，

Δ₁₁=dω₁∧ω₁=dy∧dx∧dz≠0，ω₁=0为单个非完整约束，

Δ₁₂=dω₁∧ω₂=dy∧dx∧ds，

Δ₂₁=dω₂∧ω₁=0，

Δ₂₂=dω₂∧ω₂=dz∧dx∧ds，

dω₁∧Ω=dy∧dx∧dz∧ds≠0，

dω₂∧Ω=0.

根据Frobenius定理，Π是非完整系统.但Π是不是纯非完整系统呢？为判别此事，需建立判别方程

因此，对此非完整系统Π，有

Δ=0⇔零解：φ₁=0，φ₂=0.

结论为：Π是全状态空间的纯非完整系统.

混合系统举例如下：考虑四状态变元［x，y，z，s］^T，约束组为

Π：ω₁=dz-x_dy=0，ω₂=ds+2xzdy=0，

D为全空间.作以下计算：

Ω=ω₁∧ω₂=（dz-x_dy）∧（ds+2xzdy）

=dz∧ds+2xzdz∧dy-x_dy∧ds≠0，

dω₁=d（dz-x_dy）=dy∧dx，

dω₂=d（ds+2xzdy）=2zdx∧dy+2x_dz∧dy

Δ₁₁=dω₁∧ω₁=dy∧dx∧dz≠0，ω₁=0为单个非完整约束，

Δ₁₂=dω₁∧ω₂=dy∧dx∧ds，

Δ₂₁=dω₂∧ω₁=2zdx∧dy∧dz，

Δ₂₂=dω₂∧ω₂=2zdx∧dy∧ds+2x_dz∧dy∧ds≠0，

ω₂=0为单个非完整约束.

Π全系统判别，根据Frobenius定理，

dω₁∧Ω=dy∧dx∧dz∧ds≠0，

dω₂∧Ω=2zdx∧dy∧dz∧ds≠0.

因此，Π是全状态空间的非完整约束系统.但Π是不是纯非完整系统呢？它有没有组合的完整约束呢？有没有隔离面呢？为此分析，需建立判别方程

若现在系统又附加另一和Pf₁线性独立的Pfaff完整约束

并且原点不是约束积分曲面的孤立点，则原点的可达区域维数再降低1，等于n-2.

证明　只要证明线性独立的完整Pfaff约束一定产生函数独立的积分即可.记这两个约束的积分分别为

Φ₁（u₁，u₂，…，u_n）=λ₁，Φ₂（u₁，u₂，…，u_n）=λ₂　（2.43）

现证明Φ₁，Φ₂是函数独立的.用反证法，设有

F（Φ₁，Φ₂）=0，

（2.45）（2.45）式显然和Pf₁，Pf₂线性独立相矛盾.定理证毕.

当系统受有多个Pfaff约束作用的时候，系统的约束构成一个Pfaff约束组.这时产生了约束性质互相影响问题.根据以上的分析，不难看到下面的结果：

（1）若Pfaff约束组中有一个约束是完整约束，并且当仅有这一约束作用时，原点的可达子空间为σ，那么在考虑其他约束同时作用之后，原点的可达子空间只可能是σ的子集.

（2）几个完整约束同时作用下的原点可达子空间是每一个完整约束单独作用的原点可达子空间的交集.

（3）单个来看的不可积约束和其他约束合在一起作用可能会通过线性组合而得到完整约束.因此单个不可积约束不降低可达空间维数的性质，在附加别的约束时可能变化.

（4）不可积约束在别的可积约束的可达子空间里，由于可积约束的降维作用，不可积约束的性质可能发生变化，因而需要在子空间里重新检验.此时，原来的不可积约束可能变成为子空间里的可积约束，因而对可达子空间又产生了进一步的降维作用.对此可参阅1.2.3小节中第四种情况的例子.有关这些问题在理论上都关联着上一小节指出的Pfaff约束组的最大完全可积组构成的论题.

1.2.7　不等式约束

以上讨论的约束都是由满足某个等式所规定的，称之为等式约束.但实际上，约束的种类可能是多种多样的.例如，就有另一类约束，它是由满足某个不等式所构成的，可以称之为不等式约束.

单面限制的几何约束是最直观的不等式约束.举例如下：

（1）柔索摆.用柔软而不可伸长的绳索将摆锤挂在固定点O上.如图1.9所示.此时摆锤运动的约束条件为

x²+y²+z²≤R².

（2）在固定面上方运动的质点，如图1.10所示.固定面为

z=f（x，y）.

图　1.9

图　1.10

质点在面上或面的上方运动.此时质点运动的约束条件为

z-f（x，y）≥0.

以上单面限制的几何约束明显地可以分段来处理.在运动满足等式约束阶段，按等式约束来处理.在解除等式约束阶段，按自由运动来处理.这里需要特殊研究的只是连接点的所在以及连接点处的跳跃规律.

更一般单面限制的约束可以是如下的不等式约束：

（1）不定常的单面几何约束：

f（u₁，u₂…，u_3N，t）≥0.

这些单面限制的不等式约束应该可以解释为，限定系统的表现点（位形点或事件点）必须在f=0所规定的超曲面的一侧.对于这些不等式约束分段处理的办法仍然有效，关键是决定连接点的所在.