§1.5 约束的力学性质
1.5.1 约束力
按Newton力学的观点，一切影响质点机械运动的因素都可以归结为力.因此，约束作用也可以归结为力.一般说来，约束肯定对受约束的质点给予了作用力.因为，如果约束不给予质点以作用力，那么质点的加速度可以按Newton第二定律由其他非约束作用力立即求得：
这样决定的aμ一般不见得满足约束所给予的限制条件.这个条件就是1.4.3小节中的（4.15）式.为了迫使质点由Newton第二定律决定的加速度满足约束的加速度限制关系式（4.15），约束一定向质点作用了某些作用力.记这些约束的作用力为Rμ，则质点的运动满足如下方程
对于（5.2）式这组方程，可以从两方面来说明其意义：
第一，一旦我们引入了约束的作用力Rμ之后，受约束质点系的运动方程完全和自由质点的运动方程一样，不必再管约束了.这就好像约束被解除了，质点系变成自由的了.
第二，引入约束力来使受约束质点系变成自由质点系只是形式上的.因为我们并不知道Rμ等于多少.我们只有根据
满足约束限制条件（4.15）式才能确定有什么样的约束力Rμ.
但是，不管怎么说，约束给予质点以作用力来强迫质点的运动符合约束的要求，这是确定无疑的.
所有实际作用在质点上的力可以有不同的分类.内力和外力是一种分类，给定力和约束力是另一种分类，只是划分的标准不同而已.举例来看：
（1）两质点之间有刚性约束，如图1.12（a）所示.此时两质点之间的作用力既是内力，又是约束力.
图 1.12
（2）两自由质点之间的万有引力，如图1.12（b）所示.此时两质点之间作用的万有引力是内力，但由于这个作用力不是由约束提供的，因而不是约束力，而是给定力.
（3）物理摆受到了重力的作用，如图1.13（a）所示.此时我们认为系统仅是由物理摆构成，因而重力作用是外力.同时它也不是约束给予的，即不是约束力，是给定力.
图 1.13
（4）物块在光滑斜面上运动，如图1.13（b）所示.只考虑由物块组成系统时，斜面对物块的作用力R是外力.很明显，此力是斜面约束所提供的，它是约束力.
力的不同分类有不同的特性，也就有不同的用处.根据Newton第三定律，内力的特性是在质点系内部成对出现，等值反向地作用在两质点的联线上.由此，内力具有不改变系统总动量与总动量矩的特性.内力对能量的作用就比较复杂，此时对力的分类就以无势和有势为好了.对于我们研究约束系统力学来说，把力区分为内力、外力用处不大，我们需要的分类是给定力和约束力.为了真正明确这种区分，还必须深入研究约束力的性质.
约束的实现不是纯数学的，而是通过某种物理过程来实现的.在这个过程中，由于约束而产生的力是非常复杂的.我们前面所给的对约束的数学描述不过是这种约束力系作用结果的某种抽象，某种理想化.举例来说，所谓“平面上一质点约束在曲线c′上运动”这句话，或者“质点的坐标（x，y）满足f（x，y）=0这个方程”，其力学基础是什么呢？我们用q1代表沿着曲线方向的坐标，q2代表垂直曲线方向的坐标（如图1.14所示），那么所谓约束质点沿曲线c′运动，其力学基础必须设想在曲线c′周围沿q2方向有无穷大吸力梯度的力场作用.否则任何沿q2方向的约束力必须以一个相应的沿q2方向的有限位移作为产生的条件，这就破坏了质点在曲线c′上运动的限制.在实际当中，这个约束力场沿q2方向的梯度不见得有无穷大，但只要是足够大，使得质点沿q2方向的运动可以忽略不计，那么我们仍然可以使用上述的抽象.更进一步，有时我们一方面照样使用上述对约束的数学抽象，另一方面又通过别的途径来考虑质点沿q2方向运动所造成的影响.这种影响往往可以通过估价“摩擦力”来达到.这种估价通常表现为摩擦的实验定律的形式.由于约束实际的作用力是如此的复杂，在我们对它作一般性研究时，简便的办法是采取分类处理：其中满足某种性质的力，我们称之为理想约束力，而其他的约束力，则是非理想的约束力.用什么性质作为这种区分的标准呢？这就需要引入以下将要讨论的“约束力的虚功”的概念.
图 1.14
1.5.2 约束力的虚功
首先，我们按传统的意义来叙述这个概念.更一般性的扩充我们放在1.5.4小节中来引入.
假定质点系有N个质点，编号为μ=1，2，…，N.系统受有一阶线性约束组
值得指明的，此地的记号δA只是约束力虚功总和的简记，并没有肯定它是某函数A的δ变分运算的含义（注：为特别指明这一点，有的资料上记虚功为δ′A.见参考文献［18］.）.
以下我们具体地讨论常见的几种约束，分析它们约束力的虚功的特征.
（1）质点沿固定光滑的曲面运动.设约束曲面方程为
f（x，y，z）=0. （5.4）
这里的情况是约束力总是和虚位移相垂直的情况.此时有明显的结论：约束力的虚功为零.
（2）质点约束在光滑的曲面上运动，而曲面本身随时间变化或运动.约束方程为
f（x，y，z，t）=0. （5.8）
根据虚位移分析，δvr是在瞬间凝固曲面的切平面上.而根据光滑性假定，约束力在瞬间凝固曲面的切平面上无分量，亦即约束力R只能在瞬间凝固曲面的法方向上.可见，这里仍然是R恒和δvr相垂直的情况，从而有
δA=R·δvr=0.
只是要注意到，在这里dr一般和δvr并不一致（如图1.15所示），因此一般有R·dr≠0.
图 1.15
图 1.16
（3）质点约束在光滑曲线（变动或不变动）上运动的情形，可以看成是质点约束在两张光滑曲面上的运动.这也是约束力恒和虚位移垂直的情况，故有δA=R·δvr=0.
（4）刚性约束：两质点之间用轻质刚性杆连接.设想此两质点和连杆一起作任意的运动.
如图1.16所示，设想质点m1受刚杆作用的约束力为R1，根据Newton第三定律，知刚杆受m1的作用力N1=-R1.同理，质点m2受约束力为R2，刚杆受m2的作用力为N2=-R2.记杆子的质量为m，质量中心惯量张量为I，a为质量中心加速度，ω为角速度，L为对杆子作用力对质量中心的力矩.由动力学基本定理，得到
由于假定杆子是轻质杆，则m=0，I=0，从而有
N1+N2=0，L=0. （5.10）
由此不难断定，约束力R1，R2满足R1+R2=0，且都沿着杆子的轴向.从而
R1=-R2=λ（r1-r2）. （5.11）
现在求约束力的虚功
根据约束的刚性假定，有（r1-r2）2=const.，于是有
δA=0. （5.13）
应该注意此时的特点：
a.每个质点所受的约束力和自身的虚位移方向并不一定保持垂直；
b.每一个质点的约束力虚功并不等于零，但整个约束力系的总虚功则恒为零.
（5）自由刚体.这是上述刚性约束的组合，因此恒有
δA=0.
（6）两个以光滑的点铰约束在一起的刚体，如图1.17所示.由于约束是光滑的点铰，所以两个刚体之间只有约束力相互作用，而无约束力矩作用.记体1受到的约束力为R1，体2受到的约束力为R2，根据Newton第三定律，有
R1+R2=0.
又根据点铰的性质，两体上的约束力作用点不能分开，故δvr1=δvr2，从而
δA=R1·δvr1+R2·δvr2=（R1+R2）·δvr1=0.
图 1.17
图 1.18
（7）两刚体以光滑表面保持点接触而运动.对这种约束可参见图1.18，并作如下分析：
a.由于点接触，相互限制的约束力只是通过接触点对（P，Q）的相互作用力而无力矩.由于接触面光滑，所以在接触点的切平面方向不产生约束作用力.再考虑到Newton第三定律，就得到约束力R1，R2的性质是：大小相等，方向相反，并和接触面垂直.
应该注意到，此时δvr1，δvr2本身并不一定沿接触点切平面方向，亦即R1·δvr1和R2·δvr2并不一定等于零.
（8）两刚体以完全粗糙的表面接触而运动.参见图1.19所示，此时约束力就是两刚体的相互作用力，所以有R1+R2=0，但方向没有限制（注：这一说法实际是一个理想化的假定.按照这一说法，两刚体之间必须绝对坚硬，保持点接触，不会有力矩效应影响它们相互自旋或滚动.但实际上，并不能绝对如此.）.因为接触面完全粗糙，所以法向相对速度v1-v2=0，亦即接触点P与Q的任何一组可能位移之差必等于零.从而
于是有
δA=R1·δvr1+R2·δvr2=R1·（δvr1-δvr2）=0.
图 1.19
图 1.20
（9）紧张且不可伸长的柔索形成的约束.考虑两种情况：
a.用柔索拴住质点或刚体.在柔索紧张而不可伸长的条件下，此种情况和两刚体以点铰联结的情形一致，故应有δA=0.
b.柔索紧贴光滑刚体表面，如图1.20所示.试考虑接触的任意一处.约束力为绳索和刚体的相互作用力，有
R1+R2=0.
又因为光滑，R1，R2均应和接触面垂直.又dr1-dr2只能在接触点切平面上，从而δvr1-δvr2也只能在接触点切平面上.于是有
δA=R1·δvr1+R2·δvr2=R1·［δvr1-δvr2］=0.
1.5.3 理想约束假定
根据以上对典型约束的约束力虚功的分析，我们可以引入传统意义下的理想约束假定：
考虑由N个质点组成的质点系，Descartes位形变量为u1，u2，…，u3N.假定系统上有一阶线性约束组
则称此约束组为理想约束.显然，上一小节分析的常见约束都是理想约束.这也说明，引入理想约束假定并不是凭空假想的，而是从实际约束的主要因素中抽象出来的.但是，作为理想约束的物理基础，如光滑性、刚性、不可伸长性等等都只是一种理想化，并不能完全做到.因此，进一步我们也可以把理想约束假定看成是对作用在质点系上的力的一种分类：符合理想约束假定的力系称为理想力系，不符合者都归入非理想力系.按照这个原则，在理想力系中，既可以有真正的约束力，也可以有符合假定的原给定力.在非理想力系中，既可以有原来的给定力，也可以有不符合假定的非理想约束力.
1.5.4 约束力在微变空间上的作用
为了处理一般性的一阶约束，我们可以扩充前面引进的“约束力虚功”及“理想约束假定”这两个重要概念.
假定系统受有一般性的一阶约束
理想约束假定为：如果约束满足
δW≡0， （5.18）
则被称为理想约束.这个假定的几何意义是，理想约束力向量R=［R1，R2，…，R3N］T总是和约束微变空间ε的元素δ=［δ1，δ2，…，δ3N］T相直交.
同1.5.3小节中所说的一样，条件δW≡0仍然可以看做是对作用力系的一种分类标准.
在研究高阶约束的系统时，只要我们将约束组微变空间的概念按1.4.5小节所述推广到高阶约束组，那么这里所引进的“约束力在微变空间ε上的作用”、“理想约束假定”以及下一小节关于理想约束力的定理都仍旧成立.
在这里必须说明，上述“理想约束假定”是一个约束力学性质独立的假定，而不是从任何理论推出的结果.根据历史，它可以称为Gauss-Appell-Четаев假定.它的成立既不是Newton力学原理的逻辑结果，也不是约束数学条件的逻辑结果.它是根据某些实验概括加以承认的独立的假定.如果仅从两个无可怀疑的论据出发：（1）Newton体系的力学规律成立；（2）力学系统运动时，其状态应满足约束规定的约束数学方程，即约束数学方程是刚性的，我们可以证明，满足以上两个要求的约束力方案可以有多种，不是仅有以上“理想约束假定”导出的唯一的一种.根据某种原因，在以上可能的约束力方案中选择一种，并将约束力表达成为系统状态和约束数学条件确定的表达式，我们可称之为约束的力学本构特性.确定约束的力学本构特性，这是一个需要深入研究的专门课题.在4.1.6小节中我们将继续这一课题的讨论.
1.5.5 理想约束下的约束力，Lagrange乘子
考虑某质点系，由N个质点组成.受有L个独立的一阶约束.约束的微变线性空间ε的元素为δ=［δ1，δ2，…，δ3N］T，其限制方程为
注意微变空间ε的限制方程（5.19）式，立即得到
δW≡0.
再证必要性.根据约束的独立性，知方程组（5.19）的系数矩阵缺秩为零.不失一般性，可以假定
这样，由方程（5.19）可以解出δ1，δ2，…，δL，使它表达为δL+1，δL+2，…，δ3N的组合.这样，δL+1，δL+2，…，δ3N是独立的了.
现假定约束是理想的，亦即假定恒有
由于方程（5.25）对未定乘子λ1，λ2，…，λL的系数行列式D≠0，因此这样的λ1，λ2，…，λL一定能够选到.对于这样决定的L个乘子，即Lagrange乘子来说，显然有
1.5.6 非理想约束的约束力
理想约束是实际约束的某种简单化.虽然这种简单化在不少的约束中是可用
1.5.7 第一类Lagrange方程
把Newton动力学定律和约束方程这两个独立的因素结合起来，建立“受约束系统”的动力学方程，其最直接的形式就是第一类Lagrange方程.它也是我们对约束的力学性质分析结果的应用.这种动力学方程的优点是不必区分约束的完整与非完整性，可以统一处理；缺点是未知量的数目和相应的方程数目不但不因约束而减少，反而因约束而增加了，这对求解来说是不利的.
考虑一个由N个质点组成的质点系.假定已知质点系受有给定力［F1，F2，…，F3N］T，已知质点系受的约束为一阶约束组（注：注意1.2.1小节中声明的几何约束和其微商形式之间等价关系所需补足的条件.）
（5.33）式共3N个方程.由于约束而引进的L个Lagrange乘子，多出了L个未知量.这可由L个独立的约束方程（5.31）来补足.这样，方程（5.33）和（5.31）合在一起，就构成了约束系统的封闭动力学方程组，称之为第一类Lagrange方程.
作为用第一类Lagrange方程解决问题的例子，我们来考虑一个非完整问题——斜冰面上冰刀简化模型的动力学.假定将冰刀抽象为以刚性轻杆相连的两个质点，并设两质点质量相等.轻轩长度为l.当冰刀在斜冰面上运动时，受有非完整约束：杆中点的速度只能沿着杆子方向.
图 1.21
取斜冰面的坐标系为Oxyz，其中Oz垂直冰面，Oy水平.冰面的倾角记为α，如图1.21所示.
根据简化模型假定，m1=m2=m，m1的坐标为（x1，y1），m2的坐标为（x2，y2），系统的位形为
［u1，u2，u3，u4］T=［x1，y1，x2，y2］T.
冰刀简化模型运动的约束条件为：完整约束
f1=1/2［（x2-x1）2+（y2-y1）2-l2］=0；
非完整约束
给定力是质点所受重力沿冰面的分量.从而有［F1，F2，F3，F4］T=［mgsinα，0，mgsinα，0］T.
对约束方程f1=0引入乘子λ，对f2=0引入另一个乘子μ，按（5.33）式可建立系统的第一类Lagrange方程
对于这个非完整系统，我们仍然能得到绕质心角动量守恒的结果.为此从方程（5.34）和（5.35）中可解得
从方程（5.36）和（5.37）又可解得
于是可以得到消去λ，μ的方程如下：
这就是说，冰刀绕质心转动的角动量守恒.再积分一次，得到
φ=ωt+θ0，θ0=const..
于是有u=lsin（ωt+θ0），v=lcos（ωt+θ0）.
冰刀的运动可进一步求解如下：
注意到方程（5.40）可改写成为
其中ε0，η0是积分常数.再注意到
x2-x1=u=lsin（ωt+θ0），y2-y1=v=lcos（ωt+θ0），
可立即求出x1，x2，y1，y2的表达式.
1.5.8 平衡问题
利用第一类Lagrange方程还可以解决受约束系统的平衡问题.所谓平衡问题，可以有两种不同的提法.
1.平衡问题的第一种提法
认为平衡就是静态.这种平衡我们可以特别称之为静态平衡.寻求系统静态平衡及其成立的条件是静力学.用公式来表达，这种平衡就是质点组的静态解
（注：①见1.5.7小节中的注.）
以上条件中，（5.44），（5.45），（5.46）式是表示初始状态应为静止，且满足约束方程.条件（5.47）则称为平衡条件.如果将（5.47）式改写为
条件（5.50）表达了通常的所谓虚功原理：在条件（5.44），（5.45），（5.46）成立的前提下，满足“给定力系总虚功为零”乃是理想约束系统静态平衡成立的充要条件.
图 1.22
例 长2a的轻杆，一端有质量m1，约束在位于垂直面上的光滑的1/4圆环上.杆的中点另有一质量m2，杆的下端约束在离环心距离为h的光滑水平面上.整个系统如图1.22所示.求杆的静态平衡位置.
解 记m1的坐标为（x1，y1），m2的坐标为（x2，y2），系统的位形为
［u1，u2，u3，u4］T=［x1，y1，x2，y2］T.
约束条件为
并应有
h>r≥x1≥0，h>r≥y1≥0.
系统的约束都是几何约束.由这些约束形成的对微变空间限制方程的系数矩阵为
系统所受的给定力仅有重力，为
［F1，F2，F3，F4］T=［m1g，0，m2g，0］T.
由于约束都是理想的，根据虚功原理，静态平衡除初始条件外，平衡的充要条件为
引入Lagrange乘子之后，各微变分量可看成自由的了，因而得到分离方程
m1g+λx1-μ（x2-x1）-ν=0， （5.51）
λy1-μ（y2-y1）=0， （5.52）
m2g+μ（x2-x1）+2ν=0， （5.53）
μ（y2-y1）=0. （5.54）
利用这组方程以及约束方程，就可以求解静力学问题了.分别讨论如下：
（1）从方程（5.54）可以看到，如果y2-y1=0，且μ为有限值，则（5.54）式得到满足.此时y1=y2，这表示杆子是垂直的.将这个条件代入f2=0，得到
（x2-x1）2=a2.
从而
x2-x1=±a.
再将这个式子代入f3=0，得到
x1=h干2a.
注意到x1需满足h>x1，因此只能得到
将求得的平衡位置代回方程（5.51）～（5.54）中，可求解此时的Lagrange乘子：
λ=0
并可解得
μ=（2m1+m2）g/a，ν=-（m1+m2）g，
其中μ确为有限值.
图 1.23
图 1.24
（2）由方程（5.52）和（5.54），得到
λ1y1=0.
可见，若y1=0也满足此方程.此种情况是m1落到1/4圆环的最低点，如图1.24所示.由y1=0，代入f1=0可知x1=r，再由f3=0可解得x2=（h+r）/2.代入f2=0，即得
图 1.25
将平衡位置代入方程（5.51）～（5.54）后亦可求得此种平衡情况的Lagrange乘子
λ=-（2m1+m2）g/2r，μ=0，
ν=-m2g/2.
（3）例外情况，即满足
的情形.此时，r=h-2a，根据约束条件，显然系统的位置如图1.25所示.这时
x1=r，y1=0，
x2=r+a，y2=0.
如果以这个位置代入方程（5.51）～（5.54），得到
此时未知乘子数目多于方程数目，因而不能确定乘子.这实际上反映系统为静不定情形.例子讨论完毕.
2.平衡问题的第二种提法
认为所谓系统的平衡乃是一种无需外加给定力而能维持的运动状态（或其特殊情况——某种静止状态）.这种运动亦称之为受约束系统的惯性运动或者受约束系统的自然运动.
如果记这个运动为
如果系统所受的约束是理想约束，那么条件（5.46）简化成为
由此可以立即得到一个推论：当理想约束系统所受的给定力系是理想力系时，这时系统运动的惯性力系也必然是理想力系.因此，这个运动也必然是惯性运动.这就是说，把这个给定力系撤去并不改变这个运动的成立.
寻求受约束系统的惯性运动是一个很有兴趣的课题.有时，这个问题很简单.如约束在光滑水平面上的质点，它们的惯性运动是等速运动.但是，一般说来，受约束系统的惯性运动可能相当复杂，甚至具有某些出人意料的特性.刚体绕固定点转动的Euler情形就是一种惯性运动，它的运动规律一般需要用椭圆函数表达.完全对称、平衡、理想约束的Cardan陀螺仪系统，其惯性运动更为复杂，并表现出令人惊奇的“不稳定”特性.有关这方面的研究我们将在§2.5中再仔细介绍.受约束系统惯性运动的研究在宇航体动力学的分析中很有用，这是由于宇航体（比如抽象成多刚体系统模型）常常处于不受外力的条件下，它的运动往往表现出惯性运动的特征.