§1.4　约束的可能变元及其微变空间

约束的局部性质，即微变特性，在分析动力学的理论中起着重要作用.在Lagrange的研究中，由于仅考虑完整约束，这时虚位移和位形等时变分、虚速度和虚位移时间导数、dδ_v普遍交换性和dδ交换性等都可以不去严格地区分.后来在研究稍为广泛一点的一阶线性约束时，由于有了非完整约束出现的可能，上述概念的严格区分就是完全必要的了.但是，在作为约束微变特性的基础概念——虚位移、虚速度的定义以及dδ_v普遍交换性等理论问题上，正如我们上一节已经介绍的，并没有产生困难.可是，上一节的理论仅适用于一阶线性约束.如果要考虑更为一般的一阶非线性约束，上一节的理论就产生了困难.为此需要更为一般的方法.本节的任务是来建立关于约束局部特性的一般理论.这个理论可以适应高阶约束的普遍情况.但是我们的叙述还是先从特殊情况开始，逐步推广到一般.

1.4.1　可能位形及其微变空间

研究可能位形时考虑系统只受有几何约束组

f_r（u₁，u₂，…，u_3N，t）=c_r，r=1，2…，L＜3N.　（4.1）

所谓可能位形，定义为在给定时刻t情况下，任一组满足约束方程（4.1）式的系统位形.由于独立约束的数目恒少于位形分量的数目，因此在给定时刻情况下，系统的可能位形有很多组.考虑在同一时刻情况下，任意的两组可能位形

我们称之为可能位形的有限变更.其中Δ代表有限变更的意思，L代表变更是在给定时刻满足约束条件下所取的意思.这种变更称之为Lagrange变更.

如果在作系统可能位形的Lagrange变更时，仅考虑在系统某一可能位形的无限小邻近，那么“可能位形的有限变更”蜕化为“可能位形的微变更”，记为

δ_Lc=［δ_Lu₁，δ_Lu₂，…，δ_Lu_3N］^T.　（4.3）

可能位形的微变更δ_Lc是由3N个无限小的微变量（注：参见第46页注释.）分量所组成，但是这3N个微变量δ_Lu₁，δ_Lu₂，…，δ_Lu_3N并不是各自独立的，自由的，它们必须满足一定的限制方程.由于这些微变更是“Lagrange的”——在同一时刻，在某一可能位形的无限小邻近而且都满足约束，因此限制方程显然为

由于限制方程（4.4）是线性齐次的，因此可能位形微变更的线性组合仍然是可能位形微变更.这就说明，由δ_Lu₁，δ_Lu₂，…，δ_Lu_3N这3N个微变分量组成的元素δ_Lc构成了一个线性空间.我们称这个空间为可能位形的微变空间ε^L.

注意到仅有几何约束的系统的虚位移限制方程（3.15）式，即为

对比（4.4）和（4.5）式，可见，虚位移空间ε_v与可能位形微变空间ε^L除去元素记号的区别而外，是完全一致的.

1.4.2　可能速度及其微变空间

现在考虑系统受有完全一般的一阶约束组

称之为可能速度的有限变更.其中Δ代表有限速度，J代表是在给定事件情况下所取的速度变更，称之为Jourdain变更.如果在作系统可能速度的Jourdain变更的时候，仅考虑在系统某状态时间点的邻近，那么“可能速度的有限变更”蜕化为“可能速度的微变更”，记为

比较（4.12）和（4.13）式，可见，在一阶线性约束情况下，Jourdain的可能速度微变空间ε^J和虚位移空间ε^v除去元素记号的区别而外，是完全一致的.

1.4.3　可能加速度及其微变空间

总结以上的分析，可以看出下述结果：

（1）如果系统的约束是一般性的一阶约束，那么ε^J和ε^G都有定义，并且在除去元素的记号有区别之外，限制方程是完全一致的；

（2）如果系统的约束是一阶线性约束，那么ε^v，ε^J，ε^G三者全有定义.除去在元素的记号有区别之外，其他的性质是完全一致的；

（3）如果系统的约束是几何约束组，那么ε^v，ε^L，ε^J，ε^G四者全有定义.除去在元素的记号有区别之外，其他的性质是完全一致的.

1.4.4　一阶约束的微变线性空间

为了一般化，我们来引入“一阶约束的微变线性空间”的概念.假定系统的约束都可以化成为一阶约束的形式，并有（注：几何约束化为一阶约束时，需补足初始位形的限制条件.）：

引进由3N个微变分量组成的元素

δ=［δ₁，δ₂，…，δ_3N］^T，　（4.23）

其中3N个微变分量不是各自独立自由的，而必须满足如下的线性齐次方程组：

由于限制方程组（4.24）是线性齐次的，所以元素δ构成的是线性空间，我们称这个线性空间为约束的微变线性空间ε.通常我们还假定方程组（4.24）的系数矩阵［A_rs］的缺秩为零.

当系统的约束是一阶线性约束时，约束微变空间和虚位移空间一致.在一般情况下，约束微变空间ε，ε^J，ε^G一致.

1.4.5　高阶约束微变线性空间的一般理论

我们可以将一阶约束的微变空间理论推广到高阶约束的一般情况，虽然关于高阶约束在力学系统中有无实际意义是有争议的.

假定某系统所受的约束组π由如下的L个独立的一般形式的约束所组成：

并假定其缺秩为零.

引进由3N个分量组成的元素

δ=［δ₁，δ₂，…，δ_3N］^T，

其中的3N个变量不是各自独立自由的，而必须满足如下的线性齐次限制方程组

这样的δ的总体记为ε.由于L＜3N，这样的ε对非零的δ是非空的.由于限制方程是线性齐次的，所以ε是一个线性空间.我们称这个线性空间为约束组π的微变线性空间，或密切空间，并记为ε（π）.

微变线性空间刻画了约束组的本质特性，它是约束组的不变性质.我们可以证明如下命题：

定理　等价约束组的微变线性空间是相同的.

证明　根据定义，约束组π的微变线性空间ε（π）是满足如下限制方程组的δ的总体

以下分别研究约束组π等价形式的微变线性空间：

（1）首先考虑与约束组π“函数等价”的约束组.设约束组π′与约束组π“函数等价”，也就是说，组成π′的任一约束可表达为如下形式：

它和Φ₁=0产生的限制方程相同.由此得到ε（π′）=ε（π）.

（3）设π存在着某一首次积分

根据本定理证明中的（1），知Φ=0产生的限制方程是约束组π限制方程的推论.现在只要进一步证明Φ=0的限制方程和F=c的限制方程完全一致即可.F=c的限制方程为

从理论上来说，研究高阶约束需引进比传统的力学中所用的由位形和位形速度构成的状态空间要更加复杂的“状态空间”.高阶约束π在这样的状态空间里形成一微分流形（注：作此种研究时，π中每一约束都要化成具有同样最高阶导数的等价形式.当然，为了保持等价性，需要补足有关初始条件的限制.）.我们现在研究的约束微变空间乃是约束微分流形切空间关于位形对时间最高阶导数的子空间.这个子空间在分析动力学普遍原理的表述上有重要的作用.

例　一质点m，在运动中其动能被限定为常数c.此约束为一阶约束，表达式为

我们可以把机械能守恒律方程Φ=0看成一个约束，它显然是一阶的.它和f=0构成约束组π，那么ε（π）的限制方程系数阵为

1.4.6　状态空间一阶线性约束组完整性判别定理^［15］

考虑状态空间里的一阶线性约束组

上述一阶线性约束组，何时为完整约束组，1.2.3小节中的Frobenius定理给出了解答.这个解答在数学上完美，但力学意义不甚明了.在本书有了关于轨道与轨道映射，虚位移与虚变分，约束的密切空间等研究成果之后，本小节将应用新的工具来表达状态空间一阶线性约束可积性定理.此定理的表达力学意义明确，并可自然地推广到考查状态空间一阶非线性约束组的情况.

为表达π约束流形完整性的充要条件，需要引入两个能刻画约束组流形及其轨道本质特性的结构：

以下是状态空间里一般性的一阶线性约束流形完整性的充要条件：

定理　对于状态空间里的非奇异的一阶线性约束流形π，它在区域D内具有完整性的充要条件是：在D区域内，沿π流形上的任一协调可能轨道，都有约束动力矢量和恒正交，即满足：

上式正是线性约束组π是完整组的Frobenius充要条件.

定理　对于状态空间里的非奇异的一阶线性约束流形π，它在区域D内具有完整性的充要条件是：在D区域内，沿π流形上的任一协调可能轨道，其邻近虚变分轨道均是π的可能轨道.

证明　π流形的虚变分满足

结合方程（4.25），立即可知，上述充要条件的成立等价于如下条件的成立

（4.26）条件就是代表了，要求任一协调可能轨道的邻近虚变分轨道均是π的可能轨道.定理证毕.

1.4.7　状态空间一阶非线性约束组的完整性与非完整性^{［16，17］}

状态空间一阶线性约束的理论在数学上有较好的基础.如位形空间的微分流形理论，位形空间上的分布及其积分流形理论，Frobenius理论等提供了研究线性约束性质的工具.关于线性约束大范围性质分析，本质上推进了这一领域的研究.相比而言，状态空间非线性约束的理论就比较困难.由于完整约束对应位形空间的有限约束方程组

f_r（u，t）=c_r，r=1，2，…，L＜3N.

它等价于状态空间里的一阶线性约束方程组

因此，传统上认为状态空间的非线性约束都是非完整的.但实际上并非如此.由于状态空间约束的非线性只是就约束的数学方程表达式而言，只是限定约束的外在表现形式，并未直接限定约束的本质特性——约束流形，因此，这两个概念，即约束的非线性与约束的非完整，两者是有差别的.本小节给出判别状态空间非线性约束完整性与非完整性的理论.

判别状态空间非线性约束方程组的完整性与非完整性，有两种可行的途径.第一种途径是应用约束方程函数的分区和分解因子方法，使约束方程中的非线性数学尽可能分解到最简单情况.根据1.2.5小节中的单支激活定理，在任一满足约束的状态时间点p邻域，只要约束为非奇异，则约束流形等价于一支的分支约束流形.对于此分支约束流形，有可能利用熟知的区域Frobenius定理来判定其完整性或非完整性.上述途径有两个缺陷：分解约束数学函数为简单因子的过程依赖于数学灵感，而无确定的方法；即使实现了因子分解，也很难保证分解出的分支约束流形是线性约束流形.本小节是来建立状态空间非线性约束组完整性与非完整性判别的另一途径.这一判别方法可以直接处理非线性约束流形，只要求约束流形是非奇异即可.这一方法的理论基础是应用1.1.5小节中的轨道映射概念.

1.应用轨道映射的概念给出状态空间一般性约束完整性定义

考虑状态空间的一般性约束流形

其中Proj［·］为状态空间对位形空间的自然投影.如果过D的任一点q，都能在其邻近构成一个3N-L维的位形空间流形G_π（q），且具有如下性质：

（1）G_π（q）是（π）_U的积分流形，即流形G_π（q）上过q点邻近且初速∈U的任一位形轨道，其生成的状态轨道均为π的可能轨道；

（2）π流形上过p=Proj^-1［q］点邻近的任一协调可能轨道，其自然投影的位形轨道均是G_π（q）的可能轨道.此时，G_π（q）是（π）_U的完全积分流形.

满足以上要求的一般性约束π，称为区域U上的完全可积约束，简称为完整约束.而G_π（q）位形流形为约束π过q点的完全积分流形.

以上定义中的连通开区域U是任意的.这对研究分区域的完整性与非完整性是需要的.利用此特点，也可以定义状态空间非线性约束流形的完整点概念.

定义　考虑状态空间一般性的约束流形

2.状态空间一般性约束流形完整性的判别定理

判别定理1　若状态空间的一般性约束流形

π：Φ_r（u，v，t）=d_r，r=1，2，…，L＜3N；

在状态空间某一连通开区域U上非奇异，即矩阵在U上满秩，则π约束在U上为完整约束的充分必要条件是如下轨道性质：在U上任一协调可能轨道作原轨，其邻近虚变分轨道为可能轨道.

证明　本定理排除了奇异约束的讨论.因此，定理中假定π约束流形在状态空间连通开区域U上非奇异，这是重要的基本假定.以下首先给出非奇异约束流形几个一般性质：

（1）（π）_U上每个状态点都有约束π的唯一的密切空间，它是约束组π流形的不变性质.

（2）根据在U上满秩的假定，π流形的方程组在U上可解出L个v的分量来.不失一般性，假定π流形在U上可解为

π：v_i=V_i（u，v_L+1，…，v_3N，t），i=1，2，…，L＜3N；

或记为

π：ψ_i=v_i-V_i（u，v_L+1，…，v_3N，t）=0，i=1，2，…，L＜3N.

这是π流形完全等价的另一数学表达形式.由这一数学表达形式求出的密切空间和用原来方程求出的密切空间是完全一致的.

根据π流形在p点的非奇异性及常微分方程组初值解的存在唯一性，上述方程组有初值问题的解为

以下证明本定理.

首先证明定理条件的充分性.分为三步：

以上三步证明了（π）_U是完全可积的完整约束.

显然，这证明沿协调可能轨道邻近的虚变分轨道是可能轨道.根据判别定理1，即可知（π）_U为完整约束.

以下证明条件的必要性.若假定（π）_U是完整约束，根据判别定理1，在任一协调可能轨道邻近的虚变分轨道是可能轨道，因此有

沿任一协调可能轨道作虚位移方程的时间全导数，可求得

这就是约束动力矢量和虚位移空间正交性成立.

3.状态空间一般性约束流形完整性条件的代数表达

考虑状态空间里一般性的约束流形

是Euler-Lagrange算子.

记

则（π）_U为完整约束的充要条件是

（1）非奇异条件a=a₁∧a₂∧…∧a_L≠0.

（2）判别条件D_r∧a=0，r=1，2，…，L＜3N.

4.状态空间非线性约束局部完整性与非完整性判别举例

计算A，得到

分别考查s₀，s₁的取值，有

在s₁邻近，ψ=1约束是非完整约束.