二、典型例题

（一）利用古典概型的概率计算方法及运算法则求事件{X=k}的概率（即X的分布列），并进一步求X的分布函数

例1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求：

（1）X的分布列；

（2）X的分布函数F（x）；

（3）P{X=2.5}, P{X≤1}, P{1＜X＜3}.

解 设事件Ai={部件i需要调整}（i=1,2,3），由题设知P{Ai}=0.1, P{A2}=0.2, P{A3}=0.3, X的可能取值为0,1,2,3，注意到A1, A2, A3相互独立．

于是X的分布律如下表所示：

（2）X的分布函数为

（3）P{X=2.5}=0，

P{X≤1}=P{X=0}+P{X=1}=0.504+0.398=0.902，

P{1＜X＜3}=P{X=2}=0.092.

（二）应用分布的充要条件求分布中的未知参数或确定分布

例2 求下列分布中的未知参数a：

（1）已知随机变量X的分布律为

（2）已知随机变量X的概率密度为（x∈R, λ＞0, μ为常数）.

解 （1）由题设知0＜a＜1，且（1-a2-2a）+（1-5a2）+a=1，由此解得.

（2）由题设知，而

故

例3 设连续型随机变量X的分布函数为

试求：（1）A, B的值；

（2）P{-1≤X≤1}；

（3）X的概率密度f（x）.

解 （1）由分布函数的性质F（+∞）=1，可知

又由于X是连续型随机变量，因此F（x）连续，即

所以有A+B=0，从而B=-1，于是

（2）P{-1≤X≤1}=P{-1＜X≤1}=F（1）-F（-1）=1-e-2.

（三）分布函数、分布律、概率密度函数之间的关系与转换

例4 （1）已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.2, P{X=2}=0.3, P{X=3}=0.5，求X的分布函数．

（2）已知随机变量X的分布函数为

对X的每一个可能取值xi，有P{X=xi}＞0，求X的概率分布．

解（1）应用公式即可求得分布函数

（2）应用公式P{X=a}=F（a）-F（a-0）即可求得X的分布律

P{X=-1}=0.4-0=0.4，

P{X=1}=0.8-0.4=0.4，

P{X=3}=1-0.8=0.2.

例5 已知连续型随机变量X的概率密度函数为, x∈（-∞, +∞），求X的分布函数F（x）及解

于是当x≤0时，有

当x＞0时，有

综上可得

继而

例6 设随机变量X的概率密度函数关于x=μ对称，证明其分布函数满足

F（μ+x）+F（μ-x）=1, -∞ ＜x＜+∞.

又由概率密度函数的对称性知

f（μ-u）=f（μ+u）, u∈（-∞, +∞）.

故有

例7 （1993年数四）设随机变量X的概率密度为f（x），且f（x）=f（-x）, F（x）是X的分布函数，则对任意实数a，有（ ）.

C.F（-a）=F（a）；

D.F（-a）=2F（a）-1.

解 由题设知f（x）为偶函数，故

而

故

因而

应选B.

（四）几种重要分布的应用

例8 假设一大型设备在任意长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布，求：

（1）相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

（2）在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率Q.

解 （1）由于T是非负随机变量，可知当t＜0时，有

F（t）=P{T≤t}=0.

当t≥0时，事件{T＞t}与{N（t）=0}等价，所以当t≥0时，有

F（t）=P{T≤t}=1-P{T＞t}=1-P{N（t）=0}=1-e-λt，

从而

即T服从参数为λ的指数分布．

例9 假设测量的随机误差X服从正态分布N（0,102），试求在100次独立重复测量中，至少有3次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并利用泊松分布近似求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）.

解 设p为每次测量误差绝对值大于19.6的概率，即

设Y是100次独立重复中事件“测量误差绝对值大于19.6”发生的次数，则Y～B（100,0.05），从而

由泊松定理，Y近似服从参数为λ=np=100 × 0.05=5的泊松分布，故

例10 现有两把精度不同的尺子，第一把尺子测量的误差服从正态分布N（0,4），第二把尺子测量误差服从正态分布N（0,9）．现随机选取一把尺子进行测量，求测量误差的概率密度函数．

解 记X为尺子的标号，则，记Y为测量的误差，求FY（y）=P{Y≤y}.

由全概率公式，有

从而

例11 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：min）服从指数分布，其概率密度为， ．

顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.

解 该顾客在窗口未等到服务而离开的概率为

显然Y～B（5, e-2），故

P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-（1-e-2）5=0.5167.

例12 在电源电压不超过200V,200～240V，超过240V三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2．假设电源电压服从正态分布N（220,252），试求：

（1）该电子元件损坏的概率α；

（2）该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率β.

解 令A1={电压不超过200V}, A2={电压在200～240V}, A3={电压超过240V}, B={电子元件损坏}，则

由题设知P（B|A1）=0.1, P（B|A2）=0.001, P（B|A3）=0.2.

（1）由全概率公式有

（2）由贝叶斯公式有

（五）由随机变量X的分布求其函数的分布

例13 设X在区间（-2,1）服从均匀分布，求Y=X2的概率密度．

解 X的概率密度为

先来求Y的分布函数FY（y）．因0＜Y=X2＜4，故当y≤0时，FY（y）=0，当y≥4时，FY（y）=1.当0＜y＜4时，有

将FY（y）关于y求导数得到Y的概率密度为

当0＜y＜1时 ，于是

当1＜y＜4时 ，于是

因此

即

例14 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y=1-e-2X在区间（0,1）服从均匀分布．

解 由题意知，X的概率密度函数为

函数y=1-e-2x是单调增函数，其反函数为

当x＞0时，0＜y＜1．所以由公式法可得Y=1-e-2X的概率密度函数为

于是，Y在区间（0,1）上服从均匀分布．

例15 随机变量X的概率密度为

F（x）是X的分布函数，求随机变量Y=F（X）的分布函数．

解 当x＜1时，F（x）=0，当x＞8时，F（x）=1．当x∈[1,8]时，有

设G（y）是随机变量Y=F（X）的分布函数，显然当y≤0时，G（y）=0，当y≥1时，G（y）=1.当0＜y＜1时，有

故Y=F（X）的分布函数为