第二章 随机变量及其分布

一、知识要点

（一）随机变量

1．随机变量的定义

设Ω={ω}为随机试验E的样本空间，X=X（ω）是定义在样本空间Ω上的实值单值函数，称X=X（ω）为随机变量．

2．随机变量的分类

随机变量按其取值情况分为两大类：离散型和非离散型．离散型随机变量的所有可能取值为有限个或无限可列个；非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能够一一列举出来．其中的一种对于实际应用最重要，称为连续型随机变量，其值域为一个或若干个有限或无限区间．

（二）离散型随机变量

1．离散型随机变量的概率分布

如果随机变量X的可能取值是有限多个或是无限可列个，且以确定的概率取这些不同的值，则称X为离散型随机变量．

设X为离散型随机变量，它的所有可能取值为xk（k=1,2, …, n, …）, X取各可能值的概率为

P{X=xk}=pk, k=1,2, …，

我们称上式为X的概率分布或分布律．显然，pk满足条件

（1）pk≥0, k=1,2, …；

概率分布也可用表格的形式来表示，称为概率分布表．

对于集合{xk, k=1,2, …, n, …}中的任何一个子集A，事件“X在A中取值”（即“X∈A”）的概率为

2．几种重要的离散型随机变量

（1）0-1分布

设随机变量X可能取0和1两个值，并且

P{X=k}=p kq1-k,k=0,10＜p＜1 q=1-p，

即X的概率分布如下表所示：

则称X服从参数为p的0-1分布，或称X具有参数为p的0-1分布．

（2）超几何分布

若随机变量X的概率分布为

这里M≤N, n≤N，则称X服从（或具有）参数为N, M, n的超几何分布．

（3）二项分布

若随机变量X的概率分布为

则称X服从（或具有）参数为n, p的二项分布，记作X～B（n, p）.

服从二项分布的随机变量X可以取值0,1,2, …, n，当

（其中[（n+1）p]为取整，即不超过（n+1）p的最大整数，由于（n+1）p＞0，它就是（n+1）p的整数部分）时，概率

达到最大，此时的k0称为二项分布的最可能值．

（4）泊松分布

若随机变量X的概率分布为

则称X服从（或具有）参数为λ的泊松分布，记作X～P（λ）.

3．几种分布的关系

（1）二项分布B（n, p）与0-1分布的关系

0-1分布可看成是二项分布B（1, p），即0-1分布是二项分布当n=1时的特例．

（2）超几何分布与二项分布B（n, p）的关系

当n相对于N来说很小（N相对于n很大）时，二项分布 为超几何分布的近似（极限）分布．即若当N→∞时， ，则有

（3）泊松分布与二项分布的关系

泊松定理 在n重伯努利试验中，成功次数X服从二项分布，假设每次试验成功的概率为pn（0＜pn＜1），并且，则

（三）随机变量的分布函数

1．分布函数的定义

设X是一个随机变量，x是任意实数，则称函数

F（x）=P{X≤x}

为随机变量X的分布函数．

设X为离散型随机变量，P{X=xn}=pn, n=1,2, …，则有X的分布函数

2．分布函数的性质

（1）F（x）单调不减，即若x1＜x2，则F（x1）≤F（x2）；

（2）0≤F（x）≤1, x∈（-∞, +∞）；

（4）F（x）最多有可列个间断点，并且在其间断点处是右连续的．即对任何实数x0, F（x0+0）=F（x0）.

（四）连续型随机变量

1．连续型随机变量的概率密度

如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负函数f（x），使得对于任意实数x，均有

则称X为连续型随机变量，其中函数f（x）称为X的概率密度函数（简称概率密度或分布密度）．若X具有概率密度f（x），则可简记作X～f（x）.

概率密度函数具有如下性质：

（1）f（x）≥0；

（3）对于任意实数x1＜x2，有

（4）若f（x）在x处连续，则f（x）=F＇（x）.

2．几种重要的连续型随机变量

（1）均匀分布

如果随机变量X的概率密度为

则称X服从区间[a, b]上的均匀分布，记作X～U[a, b].X的分布函数为

（2）指数分布

如果随机变量X的概率密度为

其中λ＞0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布．X的分布函数为

（3）正态分布

如果随机变量X的概率密度为

其中μ, σ是常数，且σ＞0，则称X服从参数为μ, σ的正态分布，记为X～N（μ, σ2）.

函数f（x）的图形以直线x=μ为其对称轴，在x=μ处，f（x）取到最大值f（μ）=，在x=μ±σ处有拐点，且y=0是f（x）的水平渐近线．

当μ=0, σ=1时，正态分布N（0,1）称为标准正态分布，相应的概率密度和分布函数通常分别记为φ（x）与Φ（x），则

对于标准正态分布，在x=0处，φ（x）有最大值；φ（x）的图形关于x=0对称，若x0＞0，则P{X＞x0}=P{X＜-x0}，用分布函数Φ（x）表示就是

Φ（-x0）=1-Φ（x0）.

设随机变量X～N（μ, σ2），则有其分布函数

可以得到

（五）随机变量函数的分布

1．离散型随机变量函数的分布

对于离散型随机变量X，设其概率分布为

P{X=xi}=pi, i=1,2, ….

当X=xi时，Y=g（X）=g（xi），且也以概率pi取g（xi）值．因此，由P{X=xi}=pi求出Y=g（X）的概率分布，有以下两种情况：

（1）若当xi≠xj时，g（xi）≠g（xj），则Y的概率分布为

P{Y=g（xi）}=pi, i=1,2, …；

（2）若当xi≠xj时，有g（xi）=g（xj），则必须将X取xi和xj的概率作相应的合并，即

2．连续型随机变量函数的分布

（1）分布函数法

根据已知的X的分布计算出Y的分布函数FY（y），然后利用概率密度与分布函数之间的关系再求Y的概率密度fY（y），此法称为分布函数法，它是求连续型随机变量函数分布的基本方法．

若y=g（x）是严格单调可导函数，必存在反函数x=g-1（y），这样FY（y）就可利用X的分布函数表示出来．求出FY（y）后，对y求导便可完成．

（2）公式法

设X～fX（x）（-∞＜x＜+∞），若y=g（x）严格单调，其反函数x=h（y）有连续导函数，则Y=g（X）是连续型随机变量，其概率密度为

其中

α=min{g（-∞）, g（+∞）},β=m ax{g（-∞）, g（+∞）}.