4.6 行列式

行列式的具体定义有着更深的线性代数背景，这里只做简单描述，读者学会应用即可。具体计算可通过软件来进行。

必须指出，只有方阵才有行列式。对行与列数目不相等的矩阵不存在行列式的概念。矩阵的行列式是某一矩阵的一个值，它是这一矩阵的一个尺度。需要注意的是，只有非奇异矩阵才有非零的行列式。

下面具体来看2 ×2矩阵行列式的求法。设有2阶方阵，则A的行列式为ad-bc，也就是主对角线（从左上到右下的对角线）上两个元素的乘积减去非主对角线上（从右上到左下的对角线）两个元素的乘积。矩阵A的行列式通常用符号 A或D(A)表示。在本例中，。

行列式有一些基本的性质，下面逐一加以介绍。

（1）行列互换，行列式的值不变。即：

即对任何方阵A，有 A = A′。例如，

（2）行列式一行的公因子可以提出去。即：

例如，

由行列式的性质（1）和（2）不难得知，行列式一列的公因子同样可以提出去。

（3）行列式中若有某一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和，且这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，而其余各行与原来行列式相应的各行相同，即：

（4）两行互换，则行列式反号。即：

（5）两行相同，则行列式的值为0。即：

（6）两行成比例，则行列式的值为0。即：

（7）把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变。即：

这个性质能够通过性质（3）和性质（6）推导得出，读者可以自己尝试。