4.5 矩阵的逆

只有当一个n阶方阵A非奇异时，其逆矩阵才存在，此时可称A是可逆的，且其逆矩阵是唯一的。其逆矩阵A-1定义为：

A-1A = AA-1= I

逆矩阵是否存在可以用如下三个条件中的任何一个条件来判断：（1）A的秩为n, （2）矩阵的n行之间线性无关，和（3）矩阵的n列之间线性无关。

设有矩阵Xn × p且n＞p，即矩阵的行数大于矩阵的列数。我们来看矩阵（X′X）p×p的情况。当矩阵Xn×p不是满秩矩阵的时候，即当矩阵Xn×p的最大无关列数小于p时，矩阵（X′X）p×p是奇异的。读者应当牢记这个结论，在后面的多重共线性问题中会再次涉及。注意，我们之所以假定n＞p，是因为如果n＜p，根据前面关于矩阵秩的定义，秩不会超过行的数目和列的数目中的任何一个，所以在这里，矩阵秩的数目不超过行的数目n必然造成矩阵的最大无关列的数目小于p，因而也会造成矩阵（X′X）p×p是奇异的。

求逆矩阵是个很复杂的操作，我们可以用统计软件来进行。这里只介绍一个简单的特例。对于2阶方阵，有，其中ad-bc是方阵A的行列式。下面我们对行列式加以介绍。