1.5 期望与协方差的性质

1.5.1 期望的简单代数运算性质

E（a +bX）= a +bE（X）

这就是说，随机变量的线性转换形式对其期望值也是成立的。

如果令X∗=a+bX，则X∗被称为X的线性转换，或测度转换（rescaling）：a代表位置（location）参数，b代表测度（scale）参数。

对于这一计算，存在如下特例：

对于一个常数，有E（a）=a；

对于不同的测度，有E（bX）=bE（X）。比如，对于居民的家庭年收入，以千元为测量尺度计算出的期望是以元为测量尺度下期望的1/1000倍。

1.5.2 方差的简单代数运算性质

Var（a +bX）= b2Var（X）

这一公式说明了两点：（1）给变量加一个常数并不改变这个变量的方差；（2）变量乘以一个常数，那么这个变量的方差的变化将是这个常数的平方倍。正因如此，我们经常使用标准差，而不使用方差。值得注意的是，标准差的测量单位与变量X的测度相同。

1.5.3 协方差和相关系数的简单代数运算性质

（1）Cov（X, X）= Var（X）

（2）Cov（X, Y）= Cov（Y, X）

（3）Cov（C, X）= 0, C为任意常数

（4）Cov（X1+X2, Y）= Cov（X1, Y）+Cov（X2, Y）

（5）Cov（a +bX, c +dY）= bd[Cov（X, Y）]

再次强调，对于方差和协方差，其变化只涉及测度，而不涉及位置。

（6）ρ（a +bX, c +dY）= ρ（X, Y）

这个性质表明，无论是测度变化还是位置变化都不会影响相关系数。