社会扩大再生产的“纳什讨价还价解”及其改进

——市场经济的资本积累均衡机制探究与求解

陶为群

一 关于社会扩大再生产的资本积累均衡实现机制的思辨

依据马克思社会再生产理论，两大部类实现扩大再生产与实现资本积累均衡具有等价性，扩大再生产公式可以简化成一个资本积累均衡方程求解。这就意味着先确定积累的这个部类对于实现全社会的资本积累均衡起着主导作用；之后再根据均衡的需要相应确定积累的另一个部类对于实现全社会的资本积累均衡起着匹配、适从作用。两个部类在资本积累均衡过程中具有一主一从的不平等关系。由此存在的关键问题是：以什么样的机制来决定两个部类在全社会资本积累均衡中谁主谁从？

对于计划经济的体制，这个问题比较容易得到回答：由计划机制来决定两个部类在全社会资本积累均衡中谁主谁从。但是，对于市场经济的体制，就不存在靠某个计划安排来决定两个部类在全社会资本积累均衡中谁主谁从以实现均衡。两个部类都作为市场主体，在实现全社会资本积累均衡中具有平等地位，不可能形成一主一从关系。因此已有方法不能够适用于在市场经济下求解扩大再生产资本积累均衡。必须从理论上提出另一种机制，来说明市场经济体制下社会扩大再生产资本积累均衡究竟如何实现，才能够解决扩大再生产公式的求解问题。这种机制的根基是市场经济中两个部类在社会再生产中具有平等的地位、相互形成既竞争又合作的关系。

二 马克思再生产公式的简化和资本积累均衡方程及已有求解方法

马克思社会再生产理论以两大部类社会再生产公式集中体现。按照马克思社会再生产理论，社会生产部门划分成生产资料、消费资料的两个部类，分别记为第Ⅰ、第Ⅱ部类。第j部类（j=Ⅰ, Ⅱ，下同）在年初时点的总资本分解成用于购买生产资料的不变资本、购买劳动力的可变资本两个部分，分别记为Cj, Vj，按照经典的马克思再生产公式中的假定，设Cj和Vj都是每年周转一次；那么，当年Cj作为中间消耗转移到产品当中，Vj在产品当中新创造出来，并带来它的剩余价值Mj。社会产品的价值当中包含了由生产资料消耗转移的价值、重新生产出的劳动力的价值，分别与不变资本的转移、可变资本的再生产对应，这两者之间的对比关系由生产力的技术构成决定，并且反映了生产力技术构成的两种属性资本的表现形式，即资本有机构成。《资本论》中用第j部类产品当中消耗的不变资本对于可变资本的固定不变倍数hj表示该部类的资本有机构成。剩余价值Mj与可变资本Vj之间保持固定不变的比率，以ej表示，是第j部类的剩余价值率。以Yj, Xj分别表示第j部类新创造价值、总产值，那么按照经典的马克思再生产公式，在每个部类内部，不变资本、可变资本、剩余产品、新创造价值（产品）、总产值（产品）之间的关系被下面的定义方程所确定。

式（1）、式（2）、式（3）、式（4）、式（5）合在一起，就是完整的再生产公式。其中，式（1）是定义方程；式（2）、式（3）是行为方程；式（4）、式（5）是均衡条件，就是政治经济学教科书中指出的社会再生产的实现条件。实现社会再生产就是从再生产公式中获得一组待定变量ΔCj, ΔVj, Mxj的解。再生产公式当中的均衡条件式（4）和式（5）只有一个是独立的，所以把行为方程式（2）代入式（4）或式（5），都同样得到教科书给出的再生产的基本实现条件，即两大部类之间产品交换均衡：

再将式（2）和式（1）都代入式（6），得到：

所以，式（7）就是简化的社会再生产公式，表示社会再生产的两大部类不变资本积累均衡条件。根据行为方程式（3），每个部类的资本积累分割成不变资本积累、可变资本积累两个部分的比例固定不变，因而两大部类不变资本积累均衡条件就是资本积累均衡条件。所以，简化的社会再生产公式（7）是社会再生产的两大部类资本积累均衡方程。式中有ΔCⅠ, ΔCⅡ两个待定的决策变量。实现社会再生产就是从资本积累均衡方程中确定一组ΔCⅠ, ΔCⅡ的解。如果ΔCⅠ, ΔCⅡ同时为零，那么对应着简单再生产。

将式（3）代入（2），并由于Mxj≥0，得到待定变量ΔCⅠ, ΔCⅡ的约束条件：

式（8）可以改写为：

扩大再生产是指在至少每个部类的资本都不减少的前提下，社会总资本扩大。根据式（1）表明的每个部类的不变资本与总资本的固定关系，有：

和

已经有研究根据约束条件式（9）、式（10）、式（11）和资本积累均衡方程式（7），证明了两大部类扩大再生产的充分必要条件并从数学上给出了一种求解方法，是求解有约束的参数二元一次方程的求解方法（陶为群，2014）。两大部类扩大再生产的充分必要条件是：

以资本积累均衡方程式（7）中两个待定变量ΔCⅠ, ΔCⅡ中的一个作为自变量，另一个作为这个自变量的函数，并给出自变量的定义域，就获得资本积累均衡方程式（7）的解，也就是两大部类扩大再生产的解。当选择以ΔCⅠ作为自变量，从式（7）将ΔCⅡ解出作为ΔCⅠ的函数，扩大再生产的解是：

其中自变量ΔCⅠ的定义域是：

当选择以ΔCⅡ作为自变量，从式（7）将ΔCⅠ解出作为ΔCⅡ的函数，扩大再生产的解是：

其中自变量ΔCⅡ的定义域是：

式（13）和式（14）以及式（15）和式（16）都是两大部类资本积累均衡方程式（7）的解函数，并且互为反函数。直至目前，政治经济学教科书以及有关的研究文献中，都是依照这样的函数关系确定扩大再生产的不变资本积累ΔCⅠ, ΔCⅡ之间的一个匹配。

三 两大部类扩大再生产的资本积累均衡“纳什讨价还价解”

对于上述已有的求解扩大再生产公式的方法，如果从经济意义上仔细剖析，就存在一个关键的问题。因为，当在两大部类资本积累均衡方程式（7）先确定的一个部类的不变资本积累作为自变量，就意味着这个部类来实现全社会的资本积累均衡起着主导作用；之后再根据均衡的需要相应确定另一个部类的不变资本积累，就意味着此部类对于实现全社会的资本积累均衡起着匹配、适从作用。这种方法在计划经济中是可行的，因为可以通过计划安排形成两个部类对于实现全社会资本积累均衡的一主一从关系。然而在市场经济中，不存在一种计划安排来实现全社会资本积累均衡，这种求解方法不再适用。

在市场经济的社会扩大再生产中，每个部类的直接目的都是使本部类的预付资本不断地增值，因此都期望本部类的资本积累尽量多一些。根据资本积累均衡方程式（7），两个部类的不变资本积累是此消彼长的，因此，两个部类对于资本积累形成博弈关系。同时，由于两个部类的不变资本积累必须满足资本积累均衡方程式（7），才能够实现本部类的资本积累，所以作为博弈双方的两个部类存在着共同但又不完全一致的利益，形成合作博弈关系。于是，两个部类需要就达成资本积累均衡的各自资本积累相互讨价还价。所以，可以用经济学的合作博弈中的两方讨价还价机制，来说明和求解市场经济体制下的扩大再生产资本积累均衡。

两方讨价还价是社会经济中非常普遍的现象，是买、卖双方报价博弈的过程。在很多情况下，由于买、卖双方可以从成交获得共同利益，所以尽管对于价格有不同的预期，但是经过讨价还价能够最终成交。在经济学理论中，用合作博弈理论来解释两方讨价还价及成交问题。根据合作博弈理论，博弈双方的联合理性行为应当满足帕累托效率、对称性、线性变换不变性、独立于无关选择四个基本公理。在这四个基本公理基础上的两方讨价还价解，早已被纳什总结在其著名的纳什解法中。被称为讨价还价问题的“纳什解”。因此，可以用两大部类扩大再生产的资本积累均衡“纳什讨价还价解”，来说明市场经济体制下社会扩大再生产的资本积累均衡究竟如何实现。

因为合作博弈的双方是为了自身获得利益，因而利益分配是博弈中的一个基本概念。按照马克思再生产理论，资本积累均衡方程式（7）当中的（YⅠ-CⅡ）表示生产资料总产品扣除掉两个部类的生产资料消耗后剩余的部分，实物形态是生产资料，是可以为两大部类扩大再生产追加不变资本提供的全部生产资料资源。一个部类从中获得的数量，将决定该部类的不变资本积累和资本积累。所以，（YⅠ-CⅡ）可以作为利益分配的具体对象。合作博弈的各方有自身的期望效用，是利益分配的函数，所以一方的期望效用会影响其对于利益分配的衡量。扩大再生产的最一般结果就是有新增的社会产品。由于每个部类内部各部分的相互关系固定不变，所以本部类新增的社会产品中的任何一个部分，都能够一般地代表整个新增的社会产品。这里以第j部类新增的新创造产品ΔYj一般地代表该部类新增的社会产品，也就是该部类对于资本积累的期望效用。第j部类的期望效用ΔCj与新增不变资本间的关系与式（1）表明的与ΔYj=的关系相同（j=Ⅰ, Ⅱ）。所以，第j部类的期望效用是：

根据两方讨价还价问题的“纳什解”，应当以两个部类期望效用的乘积作为资本积累均衡的目标函数。如果分别以资本积累均衡方程式（7）中的待定变量ΔCⅠ, ΔCⅡ作为横、纵坐标建立直角坐标系，那么方程式（7）表示此坐标系中的一条直线。令目标函数等于常数，可以得到此坐标系中的一簇等轴双曲线：

资本积累均衡讨价还价问题的“纳什解”是双曲线簇与方程式（7）表示的直线的相切点。因此，资本积累均衡两方讨价还价问题的目标函数是：

而式中的待定变量ΔC必须满足约束条件式（9）、式（10）和式（11）。资本积累均衡讨价还价问题的“纳什解”就是这个约束最优化问题的解。

为了求解这个约束最优化问题，构造如下拉格朗日函数：

再使用一阶条件，令, j=Ⅰ, Ⅱ;。得到稳定点方程：

和式（7）。根据式（21），得到

将式（22）代入式（7）求得稳定点，也就是目标函数式（19）的最优解：

式（23）就是两大部类扩大再生产的资本积累均衡“纳什讨价还价解”。

四 资本积累均衡“纳什讨价还价解”的改进——“K-S解”

式（23）表明，按照“纳什讨价还价解”，两个部类是等量地获得追加不变资本的生产资料，因而对于生产资料资源的索取是绝对平等的。究其缘由，在于两方讨价还价问题的纳什解法，实质上是一种寻找讨价还价“合理”结果的公理化方法。这种求解方法的关键是确定“合理解”的标准，也就是反映公平、效率和一些技术要求的公理。但是，这些确定“合理解”的标准本身并不是对于所有情形都是合理的，所以在某些情形下就需要对“纳什讨价还价解”加以改进，这样才真正符合两方讨价还价问题的纳什解法的实质。

在市场经济的社会扩大再生产中，每个部类都会期望本部类资本积累最大化。由于剩余价值是资本积累的唯一源泉，而两个部类的剩余价值数量不同，所以它们的期望资本积累数额也不同，第j部类的期望资本积累数额是其剩余价值Mj。每个部类要按照资本有机构成把资本积累分割成不变资本积累、可变资本积累两部分。因此，第j部类的期望不变资本积累数额是

第j部类的期望不变资本积累数额形成了该部类对于扩大再生产的生产资料资源（Y1-CⅡ）的要求权。这个要求权是基于该部类的剩余价值基础产生的，因而具有客观合理性。两个部类对于扩大再生产的生产资料资源的要求权之和就是全社会的要求权。所以，按照各个部类对于扩大再生产的生产资料资源的要求权在全社会的要求权中所占比重，对“纳什讨价还价解”式（23）加以改进，才相对更为合理并且符合两方讨价还价问题的纳什解法的实质。改进后，第j部类的新增不变资本即获得的扩大再生产的生产资料资源是ΔCj∗∗。

ΔCj∗∗是两方讨价还价问题分析扩展的“K-S解”。如果从图形上看，以待定变量ΔCⅠ, ΔCⅡ作为横、纵坐标的直角坐标系的原点，与式（9）和式（10）所表示的矩形区域的右上顶点可以连接成一条直线：

ΔCⅠ∗∗, ΔCⅡ∗∗正是这条直线与资本积累均衡方程式（7）所表示的那条直线相交点的横坐标与纵坐标。

由于每个部类的资本有机构成固定不变，确定各部类的不变资本积累与确定其剩余价值积累率是等价的。以μj表示第j部类的剩余价值积累率，有：

将式（3）代入式（27），得到：

将式（25）代入式（28），得到“K-S解”的各部类剩余价值积累率μj∗∗。

式（29）表明，按照“K-S解”，各个部类都以扩大再生产的全社会生产资料资源与对于生产资料资源的要求权的比率作为剩余价值积累率，两个部类的积累率相等。与“纳什讨价还价解”式（23）对比，“K-S解”将两个部类的新增不变资本相等改进为积累率相等，因而相对更为合理。需要特别指出，这里的两个部类积累率相等是在市场经济体制下两大部类的资本积累合作博弈“讨价还价”形成的，不是由某种局外力量强制安排的。

综合本文的研究结果，在市场经济的两大部类扩大再生产中，为了能够实现本部类的资本积累，两个部类之间形成合作博弈关系，也就形成资本积累均衡的各自资本积累相互讨价还价。可以用经济学的合作博弈中的两方讨价还价问题的“纳什解”及其改进“K-S解”，来说明资本积累均衡实现机制与求解。