11.6 格拉斯曼代数

最后，让我们回到格拉斯曼代数上来。从上述讨论的观点看，我们可将格拉斯曼代数视为一种克利福德代数的退化情形。这里我们有类似于克利福德代数里γ1，γ2，γ3，…，γn的反交换生成元η1，η2，η3，…，ηn，但其中每个ηs的平方为零，而不是克利福德代数里的－1：

类似于克利福德代数情形，这里反交换律

ηpηq=－ηqηp

亦成立，而且格拉斯曼代数比克利福德代数更“系统化”，因为这里我们可以去掉“p≠q”的限制，这样，由ηpηp=－ηpηp直接就有=0。

格拉斯曼代数的确比克利福德代数更基本也更普适。因为它仅取决于极少数局域结构。根本上说，克利福德代数需要“知道”什么代表“垂直”才可以从反射中建立起通常的转动概念，而在格拉斯曼代数里，“转动”并不是那种需要描述的概念。换句话说，“克利福德代数”和“旋量”这些概念是建立在空间度规概念基础上的，而格拉斯曼代数则不是。（度规的讨论见§13.8和§14.7。）

格拉斯曼代数关注的是不同维下的“平面元素”这一基本概念。我们这么来考虑，将每个基本量η1，η2，η3，…，ηn看作是在某个n维空间的坐标原点上定义的一个线元或“矢量”（不是反射的超平面），每个η与n个坐标轴中的一个轴相关联。（这些坐标轴可以是“斜的”，因为格拉斯曼代数并不关心垂直性，见图11.5。）位于原点的一般矢量是某种组合

a=a1η1+a2η2+…+anηn，

其中a1，a2，…，an是实数。（在复空间内，ai也可以是复数，但两种情形在代数处理上是类似的。）为了描述由两个这种矢量a，b组成的二维平面元素，这里b表为

b=b1η1+b2η2+…+bnηn，

我们给出a对b的格拉斯曼积。出于避免与其他形式积混淆的考虑，我采用a∧b来表示这种积（称为“楔积”）而不用并置符号，相应地，前面的ηpηq现在应改为ηp∧ηq，η的反交换律改为

ηp∧ηq=－ηq∧ηp。

将积的分配律（见§11.1）应用到定义积a∧b，我们可得到更为一般的反交换性质*〔11.9〕

a∧b=－b∧a，

这里a，b是两任意矢量。量a∧b提供了一种由a，b组成的平面元素的代数表示（图11.6a）。注意，这种表示不仅包含了平面元素的取向（因为a∧b的符号与a和b的符号有关），而且也包含了其幅度大小。

我们或许会问，对应于a表为（a1，a2，…，an），b表为（b1，b2，…，bn），我们如何将a∧b型的量表为一组分量？这里ai，bi分别表示a和b关于η1，η2，η3，…，ηn线性组合的相应系数。我们说，a∧b可以相应地表为η1∧η2，η1∧η3等的线性组合，问题是如何确定各系数，因为这里涉及某种确定的约定选择。例如，η1∧η2和η2∧η1不独立（二者互为相反），我们得在二者中选其一。但研究表明，如果将二者都包括进来，并把与之相关的系数各分一半，则表达式更具系统化。于是我们发现*〔11.10〕，a∧b的系数，或者说是分量，可表为各种量a［pbq］，这里方括号表示反对称化，其定义为

因此，

下面我们来处理三维“平面元素”。取a，b和c作为生成这种三维元的三个独立矢量。我们可取三重格拉斯曼积a∧b∧c来表示这种三维元（包括其取向和大小），并发现它也有反交换律性质（见图11.6（b））

a∧b∧c=b∧c∧a=c∧a∧b=－b∧a∧c=－a∧c∧b=－c∧b∧a。

a∧b∧c的分量取为

这里方括号同样表示反对称运算，如上式右边所示。

类似地，我们可将这种定义推广到r个元素，这里r可取到全空间维数n。r阶楔积的分量可由各矢量分量的反对称积表示。*〔11.11〕，**〔11.12〕因此，格拉斯曼代数的确提供了一套用于描述任意（有限）维基本几何线性元的有力工具。

从格拉斯曼代数具有r阶元（这里r是构成楔积中η的数目）这一点来看，这种代数是一种秩代数。数目r（r=0，1，2，…，n）称为格拉斯曼代数元素的秩。但应当明白，秩r代数中的一般元素不必是单一的楔积（如r=3情形下的a∧b∧c），它可以是各种楔积之和。相应地，格拉斯曼代数中存在许多元素，它们并不直接描述r维几何元素，这种“非几何”的格拉斯曼元还将出现在以后的讨论中（§12.7）。

一般而言，如果P是秩p的元素，Q是秩q的元素，我们规定秩为（p+q）的楔积P∧Q具有分量P［a…cQd…f］，这里Pa…c和Qd…f分别是P和Q的分量，于是有**〔11.13〕，*〔11.14〕

秩r不变的各元素之和仍是秩r的元素。我们也可把所有不同秩的元素加起来得到一个“混合”量，这个量没有具体的秩，但这种格拉斯曼代元素没有直接意义。