11.5 克利福德代数

为了处理高维并阐明克利福德代数概念，我们必须考虑所谓“关于轴的转动”在高维下指的是什么。在n维空间里，这种基本转动同样有“轴”，但这种轴是（n－2）维空间，而不只是那种我们在描述普通三维转动里使用的一维直线轴。但除了这一点不同之外，关于（n－2）维轴的转动基本上类似于我们熟悉的普通三维转动的情形，即转动完全取决于轴的取向和转角的大小。我们同样有具有下述性质的自旋体：如果使这种物体持续转过2π角，其结果不是回复到初态，而是处于初态的“相反”态，但转过4π角的转动则总是回到初态。

但高维转动的上述特点暗示其中存在某种“新要素”：在维数大于3的情形下，关于不同的（n－2）维轴基本转动的叠加不可能总等价为关于某个（n－2）维轴的转动。在高维情形下，一般性的转动（叠加）不可能描述得如此简单。这种（广义）转动也许有“轴”（即转动形成的空间），其维数可以取一系列不同的值。因此，对于n维克利福德代数，我们需要对代表不同转动的各种情形加以分级。实际上，研究表明，这种分级最好是从比转过π角更基本的地方开始，即从（n－1）维（超）平面的反射开始。两个这类（关于两个垂直平面的）反射的叠加产生转过π的转动，并把这种以前称为基本π转动的转动看作是“次级”项，而反射则作为初级项。***〔11.6〕

我们用γ1，γ2，γ3，…，γn来表示这些基本反射，这里γr代表在保持其他各轴不变条件下使第r个坐标轴反向。对于适当形式的“自旋体”，沿某个坐标轴方向反射两次即得到与其初态相反的状态。因此，我们有n个初级反射项所满足的类四元数关系式：

代表π转动的次级项是两个不同的γ的乘积，这些积具有（与四元数非常类似的）反交换性质：

γpγq=－γqγp （p≠q）．

具体到三维情形（n=3），我们可定义三个不同的“二阶”量

i=γ2γ3，j=γ3γ1，k=γ1γ2，

易证这三个量i，j和k满足四元数代数律（哈密顿的“布鲁厄姆桥”方程）。*〔11.7〕

n维空间下克利福德代数的一般元素是不同个相异的γ乘积的实数倍的和（即不同个γ积的线性组合）。一级（初级）项即n个不同的个量γp，二级（次级）项是n（n－1）个相互独立的乘积γpγq（p＜q）；三级项是n（n－1）（n－2）个相互独立的三重积γpγqγr（p＜q＜r）；四级项是n（n－1）（n－2）（n－3）个相互独立的四重积；等等，最后是单一的第n级项γ1γ2γ3…γn。取遍所有这些项再加上零级项1，我们总共有

项。**〔11.8〕克利福德代数的一般元素就是这些项的线性组合。因此，在§11.1描述的意义下，克利福德代数里的元素构成实数域上的2n维代数。它们构成幺环，但不是四元数的那种幺环，因为它们不构成可除环。

克利福德代数之所以重要的一个原因是它对定义旋量有重要作用。物理上，旋量最先出现在著名的狄拉克电子方程里（Dirac，1928），用来表示电子态（见第24章）。我们可将旋量设想为这么一种对象，即克利福德代数里的元素可作为算子作用其上，产生我们前面所讨论的自旋体的基本反射和转动。“自旋体”概念往往容易让人糊涂，不够直观。一些研究者在研究中倾向于将其视为纯粹的（克利福德）代数[11]来处理。这种处理方式当然有它的好处，特别是针对一般严格的n维讨论更是如此。但我认为不忽视其几何性质亦很重要，故在此我一直强调这一点。

在n维情形下，[12]旋量的全部空间（有时也称为自旋空间）为2n/2维（若n是偶数）或2（n－1）/2维（若n是奇数）。若当n是偶数时，自旋空间劈为两相互独立的空间（有时称为“约化旋量”空间或“半旋量”空间），其中每个空间的维数是2（n－2）/2维，也就是说，全空间里的每个元素均为分别取自两约化空间的两元素之和。偶数n维空间里的反射将一种约化自旋空间的元素转换成另一个约化自旋空间的元素。约化自旋空间的元素都有确定的“手征”，两种约化自旋空间里元素的手征正好相反。这在物理上极其重要，这里我指的是四维时空里的自旋。这两种约化自旋空间均为二维，一个代表右手系，另一个代表左手系。大自然似乎为这两种约化自旋空间安排了不同的角色，正是通过这一事实，我们才发现了不具有反射不变性的物理过程。这一发现是20世纪物理学最惊人的史无前例的伟大发现之一（理论预言由杨振宁和李政道提出，后由吴健雄及其领导的小组在实验上给予证实），它说明自然界里存在着一些基本作用过程，这些作用在其镜像形式下不可能出现。以后我们还会回到这些基本问题上来（§§25.3，4，§32.2，§§33.4，7，11，14）。

旋量在各种不同层面上还有着重要的应用数学价值[13]（见§§22.8－11，§§23.4，5，§§24.6，7，§§32.3，4，§§33.4，6，8，11），它们在计算领域能够获得实际应用。由于自旋空间里的维数（2n/2，等等）与初始空间的维数n之间呈“指数”关系，因此当n较小时，旋量无疑是一种较好的实用工具。例如，对于日常四维时空，每个约化自旋空间的维数只有2，而对现代的11维“M理论”（见§31.14），其自旋空间有32维。