9.4 傅里叶变换

根本上说，傅里叶变换是傅里叶级数在周期函数f（χ）的周期l越来越大以至无穷时的极限情形。在这种极限情形下，函数f（χ）的周期没有任何限制：它就是一个普通函数。[6]当我们研究波的传播和“不可预料”信号的发送等问题时，这会带来相当大的好处，因为我们不必非要坚持信号以周期形式出现了。傅里叶级数容许我们将这种“一次性的”信号按周期性的“纯基音”来分析。实际上，它是通过将函数f（χ）取周期l→∞来实现的。随着周期l取得越来越大，纯基音谐频（对某个正实数n，周期为l/n）也就越来越接近我们所取的任意正实数。（我们知道，任意正实数可用有理数任意逼近。）这个事实告诉我们，现在任何频率的纯基音都可以是一个傅里叶分量。我们现在不是要把f（χ）表示成离散的傅里叶分量的和，而是要将f（χ）表示成所有频率的连续和，这意味着将f（χ）表示成关于频率的积分（见§6.6）。

让我们概要地看看它是如何工作的。首先，周期l的周期函数f（x）的傅里叶分解的“最简洁”表达式为：

F（z）=∑αrzr，这里z=eiωχ

（角频率ω=2π/l）。我们取初始周期2π，这样ω=1。现在我们来试着增加周期到某个大数N倍（故l=2π N），由此频率降低了相同倍数（即ω=N－1）。原用作基本纯基音的振荡波现在变成了这个新的低频波的N次谐波，而用作n次谐波的纯基音现在则成了（nN）次谐波。当我们取N趋向无穷的极限时，要通过标签“谐频数”（即数字n）来跟踪某个具体的振荡分量就显得不合适了，因为这个数字总在变化。也就是说，在上面的求和中用整数r来指称振荡分量已经不合适了，因为一个固定的r值标称一个具体的谐频（r=±n表示第n次谐波），而不是示踪某个具体的基音频率。示踪某个具体的基音频率的是r/N，因此我们需要有新的变量来标称它。请记住，在后面章节（特别是在§21.11）的傅里叶变换的重要应用中，我们将把这个N趋向无穷时的新变量称为“p”，它表示某个量子力学粒子（其位置由x量度）的动量。[7]在这种极限情形下，我们也可以反过来用x来取代χ，如有必要的话。通过如下所述我们会发现，在取极限后，χ实际上已变成z的实部。

对有限的N，我们有

在N→∞的极限情形下，参数p成了连续变量。由于求和中的“系数αr”依赖于连续的实值参数p而非离散的整数参数r，因此我们可将αr对r的依赖关系写成标准的函数形式g（p）而不是下标形式gp。实际工作中，我们对求和∑αrzr中的αr作替换

但必须记住，随着N取得越来越大，处于p值的某个小区间内的项数也越来越多（基本上正比于N，因为我们考虑的是处于该区间的分数n/N）。与此同时，量g（p）实际上可看成是对密度的量度，因此在求和号∑变成积分号∫的极限情形下，g（p）必须后附一个dp。最后，考虑求和∑αrzr中的zr项。我们有z=eiωχ，这里ω=N－1；因此z=eiχ/N，zr=eirχ/N=eiχ p。将这些式子合起来，取极限N→∞，我们得到表达式

它就是我们的函数f（χ）。实际过程中常在这个积分上附加一项标度因子（2π）－1/2，这样，用f（χ）表示g（p）的逆运算就与用g（p）表示的f（χ）具有完全相同的对称形式：

函数f（χ）和g（p）称为互为傅里叶变换。***〔9.6〕