9.3 黎曼球面上的频率剖分

坐标z和w（=1/z）给出了两个覆盖黎曼球面的拼块。单位圆变成了球的赤道面，圆环现在成了赤道面的“项圈”。我们把劈裂的F（z）看成是两部分的和，一部分全纯地扩展到南半球——称为F（z）的正频率部分——如F+（z）所定义，并加上所选的常数项；另一部分全纯地扩展到北半球——称为F（z）的负频率部分——如F－（z）所定义，并加上常数项的剩余部分。如果我们忽略掉常数项，那么这个劈裂就唯一地取决于向两半球扩展的全纯性要求。**〔9.3〕

这么做常常是方便的：我们用画在黎曼球面上的圆（或其他闭曲线）的取向来指称圆的“内”或“外”。单位圆在z平面上的标准取向是按标准θ坐标增加的方向即逆时针方向为正方向的。如果我们颠倒这个取向（例如用－θ取代θ），则正、负频率发生交换。一般闭环的取向约定也与此一致。如果“钟面”处于环内，则取向是逆时针的；反之，如果“钟面”处于环外，则取向是顺时针的。这种约定规定了有向闭环的“内”和“外”。图9.6能够澄清这一问题。

图9.6 安排给黎曼球面上闭环的“内”和“外”的定向定义如下：环内定向为“钟面”的逆时针方向（环外为顺时针方向）。

在§24.3和§§26.2－4我们将看到，函数剖分为正、负两个频率部分这一点对量子理论至关重要，特别是对量子场论。我这里给出的具体公式并不是这种频率剖分的最常见的形式，但它在许多不同场合（特别是在旋量理论中，见§33.10）有莫大的好处。常用公式并不像关心傅里叶展开那样直接关心全纯性的扩张。正频率部分通常由e－inχ的倍数给定，这里n为正。相反，einχ的倍数给出负频率部分。正频率函数完全由正频率分量组成。

然而，这种描述并未完全反映出频率剖分的全部内容。有许多黎曼球面到自身的全纯映射，它们将每个半球映射到自身，但却不保北极或南极点（即z=0或z=∞的点）。**〔9.4〕这些映射保正/负频率剖分，但不保单个的傅里叶分量e－inχ或einχ。因此，剖分为正、负频率的问题（对量子理论至为关键）是比挑出单个傅里叶分量更为一般的概念。

在通常的量子力学讨论中，正/负频率剖分涉及的是时间t的函数，我们一般并不把时间看成是走过一个圆，但我们可以用简单的变换从χ绕圆行一圈来得到t的整个范围：从“过去的极限”t=－∞到“未来的极限”t=∞。这里我将χ的取值范围规定为两极限χ=－π和χ=π之间区域（因此z=eiχ按逆时针方向行遍复平面上整个单位圆，从z=－1出发最后又回到z=－1，见图9.7）。这样的变换可由下式给出

图9.7 在量子力学里，正/负两个频率剖分是指时间t的未必是周期性的函数。如果我们用t到z（=eiχ）的变换，那么在整个t区域（从－∞到+∞）上，我们仍可运用图9.5的剖分，这时我们按逆时针绕单位圆转圈，从z=－1出发又回到z=－1，故χ从－π到π。）

这个关系图由图9.8给出，简单的几何解释见图9.9。

图9.8 t=tan的图像。

图9.9 t=tan的几何。

这个特殊变换的一个好处是它全纯地扩展到了整个黎曼球面，我们在§8.3就考虑过这个变换（见图8.8），它把单位圆（z平面）变成实直线（t平面）：**〔9.5〕

z平面上单位圆的内部对应于t平面的上半部，z单位圆的外部对应于t平面的下半部。因此，t的正频率函数是那些全纯扩展到t的下半平面的函数，负频率函数则全纯扩展到t的上半平面。（但技术上有一点需要额外考虑，这就是t平面的“∞”。但如果我们是在黎曼球面上考虑问题，而不是在复t平面上考虑问题，则这一点很容易处理。）

然而，时间坐标t下“正频率”概念的标准表述并不是按我在这里给出的特定形式来陈述的，而是按照f（χ）的所谓傅里叶变换来进行的。答案与我给出的实际上是一样的，[5]但由于傅里叶变换从各方面说对量子力学都是至关重要的，因此在这里有必要解释一下什么是傅里叶变换。