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第九章傅里叶分解和超函数

9.1 傅里叶级数

让我们回到§6.1提出的欧拉和他的同时代人认为是可接受的“实在函数”问题上来。在§7.1，我们已说明了全纯（复解析）函数可能是欧拉最为满意的函数。但今天的大多数数学家会认为这样一种“函数”概念限定得毫无道理。孰对孰错？在本章末我们会给出这个问题的令人惊奇的答案。但首先我们得搞懂问题是什么。

在将数学应用到物理世界的问题的过程中，经常需要一种灵活性，而这是全纯函数和它的实搭档——解析（即Cω）函数——都不具有的。由于解析函数的唯一性（见§7.4的描述），定义在复平面某个连通开区域D上的全纯函数的总体行为是完全确定的，如果我们知道了它在D的某个小开子区域上的行为的话。类似地，定义在实线R的某个连通片断R上的实变量解析函数也是完全确定的，一旦函数在R的某个小开子区域上已知的话。这种刚性对于物理系统的实际模型来说似乎是不恰当的。

当我们考虑波的传播时，会发现这种刚性显得特别别扭。波的传播，包括像射频波或光的电磁信号的发送，其功效大都在于信息可通过这种方式传递。毕竟信号传递的全部意义就在于能够使接受者得到意想不到的信息。如果信号形式必须采用解析函数的形式，那么就不可能在信息中“改变主意”。信号的任何一小部分都会使整个信号始终完全确定。而实际上我们经常是根据如何不连续，或偏离解析性来研究波的传播的。

我们来考虑如何从数学上描述波。研究波的一种最有效的方式是通过著名的傅里叶分析来进行。约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier，1768～1830）是一位法国数学家。他一直关注的一个问题是如何将周期性振荡分解成“正弦波”分量。在音乐中，这个问题基本上就是如何将某个乐音表示成其组分“纯的基音”。“周期”一词是指经过一定时间周期就严格重复自身的模式（譬如说振荡物体的物理位移），它也可以指空间上的周期，像晶体、壁纸或远海水波等表现出的重复性模式。数学上，我们说一个函数f（譬如说关于实变量χ的函数[1]）是周期性的，是指对所有χ，满足

f（χ+l）=f（χ），

这里l是表示周期的固定数。因此，如果我们将y=f（χ）的图像沿χ轴“平移”一个量l，它看上去将和以前一样（图9.1（a））。（傅里叶用以处理函数的方法——傅里叶变换——将在§9.4描述。）

“纯的基音”是一些像sinχ或cosχ这样的振荡模式（图9.1（b））。这些模式有周期2π，因为

sin（χ+2π）=sinχ， cos（χ+2π）=cosχ。

这些关系在单复数eiχ=cosχ+isinχ的周期性中是显然的，

图9.1 周期函数。（a）如果对所有χ有f（χ）=f（χ+l），我们说函数f（χ）有周期l，这意味着如果我们将y=f（χ）的图像沿χ轴移动l，它看上去将和以前一样。（b）“纯基音”sinχ或cosχ（如点画线所示）有周期l=2π。（c）“高次谐频”纯音在周期l的时间里振荡数次，它们仍有周期l，同时还有更小的周期（如sin3χ有周期l=2π，同时还有更小的周期l=2π/3）。

ei（χ+2π）=eiχ。

我们在§5.3就见过它。如果我们打算把周期定为l而不是2π，那么我们就必须“重定标”函数中的χ，取ei2π χ/l而不是eiχ。相应地，实部和虚部cos（2π χ/l）和sin（2π χ/l）也有周期l。但这不是唯一的。在周期l内，振荡未必就只一次，函数可以振荡两次、三次直到n次，这里n是任意正整数（图9.1（c）），故我们发现，

中的每一个都有周期l（此外还有较小的周期l/n）。在音乐中，这些表达式（n=2，3，4，…）称为高次谐音。

傅里叶提出（并解决）的一个问题是如何将一般的周期为l的函数f（x）表示为纯基音的和。对每个n，一般来说纯基音对总的和声的贡献表现为不同的幅度，而这种差异主要取决于波形（即取决于函数y=f（χ）图像的形状）。图9.2展示了一些简单的例子。但通常，对f（χ）有贡献的各种纯基音的数目是无限的。更具体地说，傅里叶所要求的，是f（χ）到其各纯基音分量的分解系数c，a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，…