注释

§8.3

[8.1]见练习［2.5］。

[8.2]在涉及曲面（或更一般的流形即n维曲面，见第12章）方面，“闭合”一词的使用存在术语上的混乱。对于流形，“闭合”意味着“紧致但无界”，这与拓扑意义上单纯的“闭”概念大不相同，后者是§7.4讨论的“开”概念的互补概念。（拓扑上说，一个“闭集”就是一个包含了其所有极限点的集合。闭集的补集是开集，反之一样——这里，集合S在某个外围拓扑空间V内的“补集”是V的不在S内的元素组成的集合。）上面所说的“紧致但无界”概念中的“（边）界”一词也存在混乱，但本书不打算讨论它。对第12章所述的通常流形（即无界流形），“闭”流形概念（与拓扑流形概念相反）等价于“紧”流形概念。为了避免混淆，本书中我通常只用“紧”而不用“闭”这个词，只是在下述情形下是例外：对拓扑圆S1的实一维流形，我们用“闭曲线”来称呼；对空间紧致（即包含紧类空超曲面，见§27.11）的宇宙模型，我们称闭宇宙。

§8.4

[8.3]如果我们将a，b，c，d中的每一个都乘（重定标）以同一个非零复数，则变换不受影响，但如果我们分别改变它们，则变换也随之改变。这个总体重定标自由度减少了变换的一个独立参数，使之从4减为3。

[8.4]这可以说是另一个长长的故事的开始，其高潮是非常一般且强有力的阿蒂亚－辛格（Atiyah-Singer 1963）定理。

§8.5

[8.5]应当指出，只有对精确为圆的环，两种黎曼映射定理的组合才可以给出完全光滑的黎曼球面。

*〔8.1〕解释为什么。

**〔8.2〕试作（1－z4）1/2。

**〔8.3〕你能看出这是怎么回事吗？（提示：考虑变量w（=log z）的黎曼球面，见§8.3。）

**〔8.4〕证明这一点。

*〔8.5〕验证：变换zAz+B，zz－1，zCz+D的结果确实是一种双映射。

**〔8.6〕验证这两个球极平面投影的关系是w=z－1。

**〔8.7〕证明这一点。

***〔8.8〕证明这些位移给出全纯等价的空间。找出所有使这些等价物产生黎曼曲面的额外对称性的特殊p值。