4.5 如何构造曼德布罗特集

为结束本章，让我们来看看另一种类型的收敛/发散问题。这就是我们在§1.3和图1.2描述的所谓曼德布罗特集这样一种异乎寻常的基础结构。实际上，这只是韦塞尔复平面的一个子集，它可以以一种相当简单的方式来定义，尽管这个集合看上去极为复杂。我们要做的就是检验下列代换的重复应用：

这里c是某个取定的复数。我们可将c看成是以z=0为原点的复平面上的一点。于是，我们迭代这个代换就能看到点z在复平面上的行为。如果它趋向无穷，那么给点c着白色；如果z限定在某个区域内而不趋向无穷，我们就给点c着黑色。黑色区域给出的就是曼德布罗特集。

让我们更具体地描述这一过程。怎么进行迭代呢？首先，我们固定c，然后取一点z，作代换，于是z变成了z2+c。再次代换，即用z2+c取代z2+c里“z”的位置，得到（z2+c）2+c。再用（z2+c）2+c取代z2+c里“z”的位置，于是表达式变成（（z2+c）2+c）2+c。再用（（z2+c）2+ c）2+c取代z2+c里“z”的位置，我们得到（（（z2+c）2+c）2+c）2+c，等等。

现在我们来看看如果令z=0并作这种迭代会出现什么情况。这时得到的是如下序列：

0，c，c2+c，（c2+c）2+c，（（c2+c）2+c）2+c，…

它给出复平面上的一个点列。（在计算机上，我们可以每次独立地选择一个复数c来纯粹数值地做此演算，而不是用上述代数表达式。从计算上考虑，每次都重新做算术运算显然要“便宜”得多。）现在，对给定的c值，两件事必发生其一：（i）序列里的点逐渐距离原点越来越远，也就是说，序列是无界的，或者（ii）每个点都处于复平面上某个距原点一定距离的范围之内（即处于关于原点的某个圆内），也就是说，序列是有界的。图1.2a的白色区域就是c的位置给出的无界序列（i），而黑色区域则是满足有界情形（ii）的c的位置，即曼德布罗特集。

曼德布罗特集起因于这样一个事实：存在许多种不同的而且经常是高度纠缠的方式使得被迭代的序列保持有界。我们可以有各种圆和“几乎”为圆的精心组合，它们以各种巧妙的方式散布在平面上——但要从细节上搞懂这个集的异乎寻常的复杂性，就需要涉及复分析和数论的具体内容，这无疑就走得太远了。有兴趣的读者可参考Peitgen and Reichter（1986）、Peitgen and Saupe（1988）来了解更多的内容和图像（亦见Douady and Hubbard，1985）。