4.4 韦塞尔复平面

为了看清这里发生的事情，我们需要用到标准欧几里得平面下的复数几何表示。韦塞尔（Caspar Wessel，1797）、阿尔冈（Jean Robert Argand，1806）、沃伦（John Warren，1828）和高斯（Carl Friedrich Gauss，1831年之前）都曾独立地提出过复平面（见图4.3）的思想，他们清楚地给出了复平面上复数加法和乘法的几何解释。在图4.3中，我用了标准的笛卡儿坐标系，x轴水平地指向右，y轴垂直地指向上。复数

z=x+iy

图4.3 z=x+iy的复平面。在笛卡儿坐标（x，y）下，水平地向右伸展的x轴叫实轴；垂直向上的y轴叫虚轴。

由平面上笛卡儿坐标点（x，y）来表示。

现在我们来考虑实数x，它相当于复数z=x +iy在y=0时的特殊情形。由此我们认为图中的x轴代表实线（即沿直线线性有序排列的全部实数）。这样，复平面直接向我们展示了实数系如何扩展成为完整的复数系的图像表示。这条实线通常被称为复平面上的“实轴”。相应地，y轴被称为“虚轴”，它由全体实数乘以i组成。

现在我们回到此前表示为幂级数的两个函数上来。过去我们将它们看成是实变量x的函数，即（1－x2）－1和（1+x2）－1，但现在我们要对其加以扩展，使其适用于复变量z。这么做并没有什么困难，只需简单地分别写成（1－z2）－1和（1+z2）－1即可。在前一个实函数（1－x2）－1情形，我们很容易看出“发散”的原因出在哪里，因为函数在x=－1和x=+1两个位置上是奇异的（即变得无穷大）；但对（1+x2）－1，则在这两个位置上非奇异，函数完全没有实奇点。然而，从复变量z角度看，这两个函数则要彼此对等得多。（1－z2）－1在自原点始实轴的单位长度位置z=±1上有奇点，而现在（1+z2）－1也有两个奇点，位置分别在z=±i（因为1+z2=0），即自原点始虚轴的单位长度的两个位置上。

但这些复奇点怎么用来解决幂级数的收敛和发散问题呢？我们有个绝好的办法。现在，我们将幂级数看成是复变量z而非实变量x的函数，我们来看看在复平面z的哪些位置上级数收敛或发散。一般认为，[9]对于任意幂级数

a0+a1z+a2z2+a3z3+…，

图4.4 在复平面内，函数（1－z2）－1和（1+z2）－1有相同的收敛圆，前者在z=±1处有极点，后者在z=±i处有极点，所有这些极点都距原点等（单位）距离。

在复平面上总存在以原点0为中心的某个圆，称为收敛圆，它具有这样的性质：如果复数z严格处于圆内，则级数收敛到z点的值；如果z严格处于圆外，则级数在z点发散。（当z恰巧处于圆上，此时级数是收敛还是发散是个较为微妙的问题，这里不想多说，尽管这个问题与§§9.6，7将要讨论的问题有一定的联系。）现在我们涉及两种在非零z值处级数发散的极限情形，一种是收敛圆收缩为零半径的情形，另一种是收敛圆扩展到无穷大半径的情形，此时在所有z点级数都收敛。要找出某个特定函数的收敛圆实际区域，我们可观察一下函数的奇点在复平面的什么位置，为此，我们以原点z=0为中心，画一个不包含奇点的尽可能大的圆（即最接近原点的奇点画圆）。

具体到（1－z2）－1和（1+z2）－1情形，奇点是所谓极点这种简单类型（出现于某个多项式中，但其倒数形式则没有）。这里这些极点都位于原点的单位距离上。我们看到，在两种情形下，收敛圆都是以原点为中心的单位圆。二者在实轴上的点相同，均为z=±1（见图4.4）。这就解释了为什么两个函数在同一区域内会有同样的收敛和发散性质——事实上这个性质在从实变量函数来看表现得并不明显。因此，复数为我们提供了洞察级数性态的深刻的理解力，这是实变量函数所不具备的。