4.2 用复数解方程

在以下讨论中，我认为有必要引入更多的数学记号。对此我很抱歉。但是，不运用适当数量的记号，要认真讲清楚数学概念几乎是不可能的。我知道我们有很多对此反感的读者。对这些读者我的忠告是，只读文字，别太在意方程。最多也就浏览一遍就过去。本书里确实零散地分布有不少数学表达式，尤其是在后面的一些章节。我猜想即使你不打算彻底搞懂所有这些公式实际意味着什么，你还是能够理解全书的大部分内容。我希望如此，因为复数的魔力是一种特别值得欣赏的奇迹。如果你能运用数学记号，那么效果会更好。

首先，我们要问，其他的数有没有平方根？例如－2的平方根是什么意思？这很好解释。复数i就是－2的平方根，而且－i也是。进一步说，对任何正实数a，复数i和－i都是－a的平方根。真正的魔力不在这里。但当我们考虑一般的复数a+ib（这里a和b是任意实数）时情况会是怎样的呢？我们发现，复数

的平方就是a+ib（它的负值也如此）。*〔4.3〕由此我们看到，即使只在单个量（即－1）上附加了一个平方根，其结果里的每一个数也会自动出现平方根！这是我们在从有理数过渡到实数的讨论中不曾遇到过的事情。在那种情形下，仅仅是向有理数系引入一个都会使我们无所适从。

但这只是刚刚开始。我们可以接着问三次根、五次根、999次根、第π次根——甚至第i次根。我们惊奇地发现，不论选什么样的复数根，也不论我们用的是什么样的复数（零除外），这个问题总有一个复数解。（事实上，正如我们将看到的，这个问题通常有许多不同的解。前面我们说过，对平方根可得到两个解，复数z的负平方根也是z的平方根。对开高阶次方会得到更多的解，见§5.4。）

我们还只接触到复数魔力的皮毛。我刚刚陈述的只是些非常简单的东西（一旦我们有了复数的对数概念的话，见第5章）。更有意思的当属所谓“代数基本定理”，它是说，像

1－z+z4=0

或

这样的任意多项式方程必有复数解。说得更明白点，形如

a0+a1z+a2z2+a3z3+…+anzn=0

这样的方程必有解（通常是几个不同的解），这里a0，a1，a2，a3，…，an是给定的复数，且an不为零。[2]（这里n可以取任意大的正整数。）作为比较，我们来回顾一下i的引进过程。实际上，引进i就是为了给出特定方程

1+z2=0

的解，并未作其他考虑。

在作进一步论述之前，我们有必要指出，自1539年前后，卡尔达诺首次知道了复数并受到其神奇性质的启发后，他一直关注着这样一个问题，那就是找出（实）三次方程（即上述的n=3）的一般解的表达式。卡尔达诺发现，一般的三次方程总可以通过简单代换缩并为

x3=3px+2q

形式。这里p和q都是实数，我们将这个方程写成关于x而不是z的方程，只是要表明现在考虑的是实数解而不是复数解。卡尔达诺的复数解（见他1545年发表的《大术》一书）似乎是由他于1539年从尼古拉·丰塔纳（Nicolò Fontana，“塔尔塔利亚”〔1〕）的部分解发展而来，虽然这个部分解（也许甚至是完整解）早先（1526年以前）已由费罗（Scipione del Ferro，1465～1526）发现。[3]（费罗－）卡尔达诺解大致如下（按现代记法）：

这里

如果

q2≥p3，

那么这个方程在实数系下没有任何问题。这时方程只有一个实数解，就是上面的（费罗－）卡尔达诺公式正确给出的解。但如果

q2＜p3

即所谓不可约情形，那么尽管方程存在3个实数解，但上面公式里却包含了负数q2－p3的平方根，因此不引入复数是不可能做到的。实际上，正如邦贝利后来证明的（见他1572年出版的《代数》第2章），如果我们承认复数，那么所有3个实数解都可由上述公式正确地表示。[4]（这是说得通的，因为该公式提供了叠加了的两个复数，它们的i部分在求和中相互抵消，从而给出实数解。[5]）这里神秘的是，尽管这个方程看上去与复数无关——方程有实系数，解也是实的（在“不可约情形”下）——但我们需要到复数领地里走一遭才能得到纯粹的实数解。如果我们固守直接但狭窄的“实数”途径，则只能是两手空空而回。（具有讽刺意味的是，如果公式里不涉及复数，则原方程的复数解就只能是这些情形。）