第四章 奇幻的复数

4.1 魔数“i”

如果－1有平方根会怎样？正数的平方总是正数，负数的平方也是正数（0的平方还是0，因此我们几乎不用它）。我们发现，似乎不可能找到一个数其平方是负数。但这只是我们以前看到的情形，就像我们宣称2在有理数系内没有平方根一样。在那种情形下，我们是通过将有理数系扩大到更大的数系来解决问题的，这个更大的数系就是实数系。现在这个法子应该还会有效。

它确实是有效的。实际上我们现在要做的要比从有理数扩大到实数所需做的容易得多，也远没有那么彻底。（1545年，卡尔达诺（Gerolamo Cardano，1501～1576）在其著作《大术》中首次介绍了复数概念，随后，邦贝利（Raphael Bombelli，约1528～约1571）于1572年在其《代数》一书中引入了复数的运算方法。）我们需要做的就是引入一个称作为“i”的量，它是－1的平方根，将它附在实数系上，这样i与实数结合组成如下表达式

a+ib，

这里a和b是任意实数。任何这样的组合都称作复数。易见复数的加法为：

（a+ib）+（c+id）=（a+c）+i（b+d）

形式上它与以前的一样（不过是用a+c和b+d取代了原先表达式中的a和b）。那乘法呢？这也容易。我们来看看怎么将a+ib乘以c+id。首先我们按代数的一般法则得到二者相乘的展开式：[1]

由于i2=－1，因此我们可将上式写成

（a+ib）（c+id）=（ac－bd）+i（bc+ad），

它与我们原先的a+ib具有相同的形式，只不过是ac－bd取代了a，bc+ad取代了b。

两复数相减也极为简单，但相除呢？我们知道，在通常的算术运算里，任何不为零的实数都可以作除数。现在我们就来试着用复数a+ib除以复数c+id。我们必须将后者看成非零项，这意味着c和d不能同时为零。故c2+d2＞0因此c2+d2≠0这样我们就可以用c2+d2作除数。大家可通过直接练习*〔4.1〕来检验（下式两端同乘以c+id）

这个形式也与原先的基本相同，因此也是一个复数。

当我们熟悉了这种复数的演算，我们就不再将a+ib看成是一对数即两个实数a和b，而是一个完整的数，我们用符号z来表示它：z=a+ib。可以验证，复数满足所有的代数运算规则。**〔4.2〕事实上，所有这些做起来比验证实数的每一项法则要直接得多。（对于这种验证，我们回顾一下分数所满足的代数法则就会充满信心，然后再用戴德金的“切口”来说明这些法则对实数也适用。）从这个观点看，人们对复数的疑虑持续了这么长时间，而远为复杂的从有理数到实数的扩展则在古希腊时代之后被毫不怀疑地普遍接受，这似乎很不正常。

推测起来，出现这种疑虑大概是因为当时人们“看”不到复数在当今物理世界里表现出的那种作用。在实数情形，我们看到，距离、时间和其他物理量都显示出对这种性质的数的需要；但复数则似乎仅仅是由那些试图得到比以往更大的数域的数学家的想象产生的一种发明。但从§3.3我们知道，数学上的实数与长度或时间等物理概念的联系并非如我们想象的那么清楚。我们无法直接看清戴德金切口的细节，也不清楚任意大或任意小的时间或长度在自然界是否真的存在。我们只能说，所谓“实数”，其实和复数一样也是数学家头脑的产物。但我们会发现，复数、实数甚至更多种类的数都属于一个具有惊人性质的共同体。就好像大自然本身也和我们一样，对复数系的范围和协调性留有深刻印象，于是将这个世界在最小尺度上的精确运行托付给了它。在21～23章，我们将更深入细致地看到它是怎么工作的。

应当说，只谈及复数的范围和协调性对这个数系来说是不公正的。在我看来，它还具有更多的只能用“魔力”来形容的品质。在本章余下部分和随后的两章，我将尽量让读者领略这种魔力的奇幻性。然后在第7～9章，我们再来见证复数最奇特、最出乎意料的那些方面。

在复数为人所知的过去这四百年里，复数的许多神奇性质开始逐渐显露出来。要说人们早就知道数学里有这么一种数，而且其作用和深刻的数学洞察力是单独使用实数所根本无法实现的，这一点本身就是个奇迹。我们没有任何理由期望物理世界会关照它。自卡尔达诺和邦贝利引入这些数以来，350年过去了，其间纯粹是其数学上的作用才使人们感知到复数的神奇。毫无疑问，对所有那些对复数持怀疑态度的人来说，当他们得知，按20世纪最新的三夸克物理理论，在最小尺度上支配这个世界的行为规律的正是复数系时，不啻于晴天霹雳。

这些内容将是本书后半部分的中心议题（特别是第21～23章）。眼下我们关注的是复数的数学魔力，物理魔力留待以后再说。截至目前，我们所做的只是要求－1有平方根，且要求保留通常的算术运算法则，我们已经断言，这些要求是能够得到协调一致的满足的。它看起来并不难做到。但的确是个奇迹！