3.1　位置与姿态的描述

机器人是由一个个关节连接起来的多刚体，每个关节有其驱动伺服单元。因此，每个关节的运动都在各自的关节坐标系度量，而且每关节的运动对机器人末端执行器的位置与姿态都做出贡献。为了研究各关节运动对机器人位置与姿态的影响，需要一种用以描述刚体位移、速度和加速度以及动力学问题的有效而又简便的数学方法。下面建立这些概念及其表示法。

（1）位置描述

对于直角坐标系{A}，空间任一点p的位置可用位置矢量Ap表示，见图3-1。Ap的列矢量形式为

（3-1）

其中，Ap的上标A代表参考坐标系{A}；px，py，pz是点p在坐标系{A}中的三个坐标分量。

（2）姿态描述

为了描述机器人的运动状况，不仅要确定机器人某关节或末端执行器的位置，而且需要确定机器人的姿态。机器人的姿态可以通过固接于此机器人的坐标系来描述。例如，为了确定机器人某关节B的姿态，设置一直角坐标系{B}与此关节固接，用坐标系{B}的三个单位主矢量Bx，By，Bz相对于参考坐标系{A}的方向余弦组成的3×3矩阵来表示此关节B相对于坐标系{A}的姿态，即

（3-2）

式中，称为旋转矩阵，上标A代表参考坐标系{A}，下标B代表被描述的坐标系{B}，α是Ap与x轴的夹角，β是Ap与y轴的夹角，γ是Ap与z轴的夹角。

旋转矩阵的三个列矢量， , 都是单位矢量，且两两垂直，因此满足条件

（3-3）

（3-4）

（3-5）

式中，上标T表示转置。

对应于x，y，z轴作转角为θ的旋转变换，其旋转矩阵分别为

（3-6）

（3-7）

（3-8）

式中，s表示sin，c表示cos。

图3-2表示机器人末端执行器的姿态。此末端执行器与坐标系{B}固接，并相对于参考坐标系{A}运动。

（3）位姿描述

为了完全描述机器人某关节B在空间的位姿，通常将机器人某关节B与某一坐标系{B}相固接。{B}的坐标原点一般选在机器人某关节B的特征点上，如质心或对称中心等。相对参考系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的姿态，分别由位置矢量和旋转矩阵描述。则机器人某关节B的位姿可由坐标系{B}来描述，即有

（3-9）

当表示位置时，式（3-9）中的旋转矩阵=I（单位矩阵）；当表示姿态时，式（3-9）中的位置矢量=0。

（4）机械手的位姿描述

图3-3表示机器人的一个机械手。为了描述它的位姿，选定一个参考坐标系{A}，另规定一机械手坐标系{T}。如果把所描述的坐标系{T}的原点置于机械手指尖的中心，此原点由矢量p表示。描述机械手方向的三个单位矢量的指向如下：z向矢量处于机械手接近物体的方向上，并称之为接近矢量a；y向矢量的方向从一个指尖指向另一个指尖，称为方向矢量o；x向矢量的方向根据与矢量o和a构成的右手定则确定：n=o×a，并称为法线矢量n。因此，机械手相对于基坐标的变换T6具有下列元素

（3-10）

其中，R3 × 3表示了机器人的姿态，P1 × 3代表机械手的位置。因此，T6同时描述了机器人的位置和姿态。

显然，每关节的运动都对机器人末端执行器的位置和姿态产生影响。每个关节的运动是在其各自的坐标系下度量，如何将这度量结果表示在相邻的坐标系中，这就需要坐标变换。