1.1.5 经典偏微分方程

前面已经讲过了，许多物理的基本规律都可以用偏微分方程进行数学描述，从历史发展来看，有三类比较基本的经典偏微分方程：波动方程、热传导方程以及拉普拉斯方程。

1.波动方程

（1）波动方程（Wave Equation）

波是一种物质运动的重要形式，广泛存在于自然界中，它是物理量的振动或扰动在空间中逐点传递时形成的一种运动，例如无线电波、微波等由于电磁场振动产生的电磁波，机械振动产生的机械波，自旋磁矩由于扰动在铁磁体中产生的自旋波等。虽然传播的物理量和介质各式各样，但其本质类似，都具有典型的时间和空间周期性，可以用相同的数学方法来描述，即波动方程。

波动方程，又称波方程，主要用来描述自然界中的各种波动现象，包括横波、纵波和球面波，例如声波、光波、水波和地震波等，常见于声学、电磁学和流体力学等领域。波动方程是一种典型的双曲型偏微分方程，前面讨论过的弦振动方程就是一个波动方程。

最简化的波动方程可以表示为位置与时间的标量函数，描述各点偏离平衡位置的距离，满足

通常情况下，方程式（1.21）中的系数c是一个常数，表示波的传播速率。例如对于声波，通常是声音的传播速率，对于光波，则是光速等。

在研究实际问题时，波速往往是随着波的频率发生变化的量，例如研究色散问题的非线性光学波动方程式（1.22）

此外，在实际情况中，传播介质也有可能是各向异性材料，或者分布不均匀材料等，方程形式还可以进行相应的修改。

（2）亥姆霍兹方程（Helmholtz Equation）

亥姆霍兹方程，是一个用来描述电磁波传播的偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍兹而命名，常见于同时涉及空间和时间依赖性的物理问题的研究，例如电磁辐射、地震、声学等。

将前面提到的波动方程进行变量分离（u=A(x)T(t)），可以得到两个微分方程式

其中k是分离常数波数，A是振幅。方程式（1.23）就是空间变量x的亥姆霍兹方程，其中不包含时间项，是一个典型的椭圆型方程；方程式（1.24）是一个二阶时间常微分方程。经常可以使用拉普拉斯变换或傅里叶变换等积分变换，将双曲型偏微分方程转换为亥姆霍兹方程形式。

（3）薛定谔方程（Schrödinger Equation）

薛定谔方程，是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，用于描述量子力学中的波函数的运动，被人们认为是量子力学的奠基理论之一。就好像牛顿定律在经典力学的地位、薛定谔方程在量子力学里占有中心的地位一样。

薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。其中，含时薛定谔方程依赖于时间，专门用来计算量子系统的波函数随时间的演变。不含时薛定谔方程与时间无关，用来计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。这个波函数可以用来计算在量子系统里，某个事件发生的概率幅（又称为量子幅）；而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。

薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里量子尺度的粒子的统计性量子行为。量子尺寸的粒子包括基本粒子，如电子、质子、正电子，等等。

薛定谔方程的基本形式如方程式（1.25）所示

其中Ψ是量子力学波函数，Ψ2 就代表对应电子位置的概率密度函数， h=6.626 × 10-34Js是普朗克常数，μ是约化质量，V是势能，E是能量特征值。

2.热传导方程

热传导方程，或称为热方程，是一个用来描述区域内的温度如何随时间和空间变化的偏微分方程。在前文中，我们已经通过“微元法”向大家展示了如何建立一个偏微分方程来描述热传导现象，得到的方程就是热传导方程。

热传导方程是一个典型的抛物线型偏微分方程，其瞬态基本形式如方程式（1.26）所示

热传导方程的解具有初始温度平滑化的特征，即热量从高温向低温走。换句话说，各种不同的初始状态，最终都可能会趋向同一个稳定的热平衡状态，所以我们很难从已知的结果反解初始状态。

值得一提的是，热传导方程的形式比较简单，描述的又是自然界中最常见的物理现象，因此常用于数理方程、有限元方法或其他一些数值算法的课程作为经典案例讲解。

3.拉普拉斯方程和泊松方程

（1）拉普拉斯方程

拉普拉斯方程（Laplace Equation），又称调和方程或位势方程，这是偏微分方程发展史中最著名的一个方程，该方程以势函数的形式描写了物理对象的性质，由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名，常见于电磁学、天文学和流体力学等领域。

基本的拉普拉斯方程形式如方程式（1.27）所示

因此Δ也被称为Laplace算子。方程式（1.27）也可以换一种写法

其中 div 表示矢量场的散度（得到的结果是标量场），grad 表示梯度（得到的结果是矢量场）。

拉普拉斯方程是一个典型的椭圆型偏微分方程，常用于描述扩散等类型的问题，经过简单的变换，可以得到我们常用的数理方程，例如前面分析过的热传导方程等。

（2）泊松方程

如果拉普拉斯方程的右端源项不为零，它就转换成了泊松方程（Poisson Equation），这也是一个常见于静电学、机械工程和理论物理等的偏微分方程，由法国数学家、几何学家和物理学家泊松而得名。

泊松方程也是一个典型的椭圆型偏微分方程，方程式如（1.29）所示

需要注意的是，拉普拉斯方程和泊松方程中都没有时间项，换句话说，这两个方程所描述的自然现象是稳定场或定常的，与时间无关。