2.3 点的速度合成定理——三种运动速度间的关系

本节进一步分析三种运动速度——绝对速度、相对速度与牵连速度之间的关系。如图2-6所示，点M为动点，动系为O＇x＇y＇z＇，定系为Oxyz。rM为绝对运动矢径，r＇为相对运动矢径，rO＇为动系坐标原点的矢径。在图2-4中，上述三个矢量之间存在如下关系式：

要得到绝对速度、相对速度与牵连速度之间的关系，可以对式(2-3)两边求导，即

显然，式(2-4)中等号左边为动点的绝对速度，即

以下考察式(2-4)中等号右边的两项和的意义。首先，考察的意义。我们知道，相对运动矢径r＇可在动系中表示为

r＇=x＇i＇+y＇j＇+z＇k＇

当在动系上观察动点的运动时，单位矢量i＇,j＇,k＇的方向保持不变，所以不难理解

就是动点M相对于动系O＇x＇y＇z＇的运动速度，即相对速度。也就是说，相对速度vr是相对运动矢径r＇相对于动系O＇x＇y＇z＇的时间导数，称之为r＇的相对导数，记为，即

而当在定系中观察动点的运动时，单位矢量i＇,j＇,k＇的方向是变化的，所以

将此称为相对运动矢径r＇相对于定系Oxyz的绝对导数，即在定系上观察r＇随时间的变化。

由泊松公式(1-23)可得绝对导数与相对导数之间的关系为

将上式代入式(2-4)中，得

上式中，即为动系上与动点相重合的点的速度，即牵连速度ve，所以

上式称为速度合成定理（theorem for composition of velocities），即某瞬时动点的绝对速度等于该瞬时动点的相对速度和牵连速度的矢量和。

由于证明时没有对绝对运动和相对运动轨迹形状进行任何限制，也没有对牵连运动为何种刚体运动进行限制，因此该定理对各种运动都是适用的。

例题2-3

如例题图2-3所示，半径为R、偏心距为e的凸轮，以匀角速度ω绕轴O转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一条直线。求在图示位置时，杆AB的速度。

分析：因为杆AB做平动，各点速度相同，因此只要求出其上任意一点的速度即可。为了利用速度合成定理，首先需要做好3件事：(1) 选取合适的动点；(2) 选取合适的动坐标系；(3)明确绝对运动、相对运动和牵连运动的形式。

解：

选取杆AB的端点A作为研究的动点，动系随凸轮一起绕轴O转动。三个运动分别为：绝对运动——沿铅垂轴的直线运动（规律未知）；相对运动——沿凸轮轮廓的圆周运动（规律未知）；牵连运动——绕轴O的匀角速度转动（已知）。于是，点A的绝对速度方向沿AB，相对速度方向沿凸轮圆周的切线，而牵连速度为凸轮上与杆端点A重合的点的速度，它的方向垂直于OA。

由速度合成定理得

式中，ve为凸轮上与动点A重合的点的速度，由ve=ω × rOA可知，其方向垂直于OA，大小为;vr⊥CA，大小未知。

作速度合成的平行四边形，如例题图2-3所示，可得

此即为点A的绝对速度。进而，可求得其相对速度为

讨论：

本题中，选择杆AB上的点A为动点，动坐标系与凸轮固连，因此三种运动特别是相对运动轨迹十分明显、简单，使问题得以顺利解决。反之，若选凸轮上的点（如与点A重合的点）为动点，而动坐标系与杆AB固连，这样，相对运动轨迹不仅难以确定，而且其曲率半径未知，从而导致求解（特别是求加速度）十分复杂。（请读者思考，在该情况下动点的相对运动轨迹具体是什么曲线。）

例题2-4

刨床的急回机构如例题图2-4(a)所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动。设曲柄长OA=r，两轴间的距离OO1=l。求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度ω1。

分析：若要求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度ω1，则需要先求出此时摇杆上一点的速度。

解：

选取曲柄端点A作为研究的动点，把动系O1x＇y＇固定在摇杆O1B上，并与O1B一起绕轴O1摆动。点的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕轴O1的摆动。

于是，绝对速度va的大小和方向都是已知的，它的大小等于rω，而方向与曲柄OA垂直；相对速度v r的方向是已知的，即沿O1B；而牵连速度ve是杆O1B上与点A重合的那一点的速度，它的方向垂直于O1B，也是已知的。共计有四个要素已知。作出速度合成的平行四边形，如例题图2-4(a)所示。由其中的直角三角形可求得

ve=va sinφ

又，且va=rω，所以

设摇杆在此瞬时的角速度为ω1，则

式中，。由上式解得此瞬时摇杆的角速度为

讨论：

若选取O1B上的点A为动点，动系固连在杆OA上，则相对运动轨迹如例题图2-4(b)所示，这会导致求解（特别是求加速度）十分复杂。

例题2-5

例题图2-5所示的直角弯杆OBC以匀角速度ω=0.5 rad/s绕轴O转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动；OB=0.1m，且垂直于BC。试求当φ 60= °时小环M的速度。

分析：可以选小环M为动点，动系固连于OBC，则本问题是已知动系的运动，求动点的绝对运动。其中，绝对运动为沿杆OA的直线运动；相对运动为沿杆BC的直线运动；牵连运动为绕点O的定轴转动。

解：

根据上述运动分析，相应的速度合成定理为

式中，va沿OA方向，大小未知；ve垂直于OA方向，大小为ve=OP.ω=0.2×0.5=0.1m/s；vr沿BC方向，如例题图2-5所示。

式(a)中只有va和vr两者的大小未知。由速度合成的平行四边形解得小环M的绝对速度为

此外，还可求得点M的相对速度为

vr=2ve=0.2m/s

例题2-6

圆管BOA以等角速度ω绕轴O转动，起始瞬时圆管与Ox轴重合，如例题图2-6(a)所示。圆管内的点M以x 1=b cos ωt mm的规律相对于圆管运动，求瞬时点M的速度。

分析：选取M为动点，动系Ox1y1固连在圆管上，则绝对运动为平面曲线运动（规律未知），相对运动为直线运动（规律已知），牵连运动为绕的定轴转动（规律已知）。

解：

根据上述运动分析，应用速度合成定理，有

式中，ve⊥O M。由题意知φ=ωt，当b mm，所以ve=ω × rOM =;vr沿OM的方向，。于是，点M的绝对速度为

讨论：

(1) 本题属于运动合成问题，动点动系的选择比较直观。求解时，借助坐标系单位矢量将各个分量表示清楚，则速度的求解很简便。画出速度四边形图，则有利于形象地理解速度合成定理。

(2) 本题也可利用动、定坐标间的变换关系，直接建立点的绝对运动方程来研究点的运动，这就是第1章所述的研究点运动的解析法。

由例题图2-6(b)，可得点M的绝对运动方程为

且已知

φ=ωt, x1=b cosωt, y1=0

所以

上列方程组是以t为参数的轨迹方程，消去t可得点M的轨迹方程为

即点M的绝对轨迹是以为圆心、为半径的圆周，如例题图2-6(c)所示。

求点M的绝对速度和绝对加速度。由例题图2-6(b)可得，θ=2φ=2ωt，故点M沿圆周做等速运动，点M的绝对速度和绝对加速度分别为

将点的复合运动分析方法与点的运动学分析方法进行比较可知，前者主要研究动点在指定位置上的速度和加速度，往往不要求弄清动点的运动全貌；后者则通过建立动点绝对运动方程，得到点持续运动过程中的各个运动量，便于弄清点运动的全貌，而指定瞬时的各个运动量可作为特殊值得到。对于实际问题，应根据不同的要求，选用恰当的研究方法。