任务3 数学分析：轮式移动机器人的运动学模型

智能移动机器人的控制模块的主要任务之一是处理机器人的运动问题。为了得到良好的运动控制效果，必须对机器人的相关运动进行明确的数学描述。

1.两轮差动移动机构运动学模型

如图2.17所示，在世界平面坐标系XOY中，机器人的位置坐标和姿态可以唯一确定。同时以机器人为中心建立机器人本体坐标系X'O'Y'，因此，机器人的运行速度在世界平面坐标系XOY中可表示为直线运动速度Vx、Vy和旋转运动角度ω。

设车轮的半径为r，两轮间距2d=l，初向角为θ。若右轮的转动角度为ωr，左轮的转动角度为ωl，车轮着地点的速度分别为Vl（左轮）、Vr（右轮），则可得

设两轮轴线的中点为机器人的形心，则机器人的平移速度和角速度分别为

Vx=0

其中，若ω=为正，则机器人逆时针运转，否则为顺时针运转。

运动参数（Vx,Vy,ω）可以表现为从场地坐标系（世界坐标系XOY）所观察到的固结在机器人上的坐标系（X'O'Y'）随时间变化的函数。由于机器人在平移的过程中Vx方向始终为0，所以只要计算Vy方向的运动量即可，于是就有以下的公式演算。

反推可获得

假设机器人的转弯半径为ρ，则

对于两轮独立驱动机器人，通过左右车轮的反向运动（Vr+Vl=0）能实现方向变换（ρ=0）。

2.三轮全向移动机构运动学模型

如图2.18所示，三轮全向移动机器人的3个车轮按照120°均匀分布。设车轮的半径为r，机器人中心到车轮的距离为d，从位于右方的车轮计起，按逆时针方向3个车轮的转角分别为φ1、φ2、φ3，初向角为θ1、θ2、θ3，机器人借助这3个车轮的特殊结构可实现任意方位的运动。

设机器人的中心以速度V做平移运动，同时做旋转运动，则距离旋转中心d的车轮处的速度为dω，则车轮i的着地点的速度Pi为机器人中心的平移速度与车轮i转动的切向速度（ei）之和。即

其中分别为各车轮旋转方向对应的单位矢量。

根据各个车轮的转动所获得的速度等于其内积，可得各车轮的旋转速度与机器人速度之间的关系式为

3.四轮全向移动机构运动学模型

如图2.19所示，四轮全向移动机器人一般在空间内按照90°均匀分布。和三轮机器人类似，初向角为θ1、θ2、θ3、θ4，转角为φ1、φ2、φ3、φ4。可得到各个车轮的旋转速度与机器人速度之间的关系式为（其中，φ1、φ2、φ3、φ4均大于0）