（二）成倍增长问题

所谓成倍增长问题是：一列数后一个数总是前一个数的2倍，成倍增长问题实质上是二进制问题：

07.猪八戒的变化

西游记中猪八戒有三十六般变化，他虽然不能变轻巧华丽飞腾之物；但若说变山，变树，变石块，变土墩，变懒象、小猪、水牛、骆驼，各个全会。36变浓缩变化就是精华。各种变法万变不离其宗，在领悟之后36变可为360，3600，36000……变。而72变让孙悟空太骄傲！

给你一把利刀，切1刀，我们把1张纸对折后从中间切成大小相等的2张，切2刀，我们把这2张纸对折后从中间切成大小相等的4张，切3刀，我们把这4张纸对折后从中间切成大小相等的8张，……，那么，切32刀，这张纸变成多少张呢？

解析：

第1回（1×2）= 2张

第2回（2×2）= 4张

第3回（4×2）= 8张

第4回（8×2）= 16张

第5回（16×2）= 32张

第6回（32×2）= 64张

第7回（64×2）=128张

第8回（128×2）= 256张

第9回（256×2）= 512张

第10回（512×2）= 1024张

第11回（1024×2）= 2048张

第12回（2048×2）= 4096张

第13回（4096×2）= 8192张

第14回（8192×2）=16384张

第15回（16384×2）=32768张

第16回（32768×2）=65536张

第17回（32768×2）=65536张

第18回（65536×2）=131072张

第19回（131072×2）=262144张

第20回（262144×2）=524288张

第21回（524288×2）=1048 576张

第22回（1048 576×2）=2097 152张

第23回（2097152×2）=4194 304张

第24回（4194 304×2）=8388 608张

第25回（8388 608×2）=16777 216张

第26回（16777 216×2）=33554 432张

第27回（33554 432×2）=67108 864张

第28回（67108 864×2）=134217 728张

第29回（134217 728×2）=268435 456张

第30回（268435 456×2）=536870 912张

第31回（536870 912×2）=1073 741824张

第32回（1073 741824×2）=2147 483648张

答：切32刀这张纸变成2147 483648张。

08.汉诺塔游戏

（1）有三根杆子A、B、C。A杆上有三个碟子。

（2）每次移动一个碟子，大碟子不能移在小碟子上面。

（3）把A杆上的三个碟子移到C杆上需要多少步？

解析：

经过研究发现，汉诺塔的破解很简单，就是按照移动规则向一个方向移动碟片。

移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需4次，3阶汉诺塔的移动：

A→C，A→B，C→B，A→C，B→A，B→C，A→C，

共需：1+2+4=7（步）

答：把A杆下的三个碟子移到C杆下需要7步。

小知识：

汉诺塔（又称河内塔）问题是印度的一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

不管这个传说是否可信，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，一共需要移动多少次？那么，不难发现，不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片增加一倍。这样，移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需4次，第64片需2的63次方次。全部次数为：18446 744073 709551 615次这和“麦粒问题”的计算结果是完全相同的！ 假如每秒钟移动一次，共需要多长时间呢？一年大约有31556 926秒，计算表明，移完这些金片需要5800多亿年！

09.烦人的老鼠

老鼠是一种啮齿动物，体形有大有小。种类多，有450多种，数量大，有几十亿只，而且繁殖很快，生命力很强，几乎什么都吃，什么地方都能住。老鼠会打洞、上树，会爬山、涉水，对人类危害极大。

《尘劫记》：日本古典数学（和算）著作。吉田光由（1598—1672）撰。初版（1627）三卷。书中有这样一道数学题：

“在一月份的一对（雌雄各1只，共2只）老鼠，每个月生六对（雌雄各6只，共12只）小老鼠，假设小老鼠长一个月后也是每个月生六对（雌雄各6只，共12只）小老鼠，到年末总共有多少只老鼠？”

解析：

共（父母+仔）=2+12=14

二月

生仔14×6=84

共84+ 14=98

简记为：

三月

生仔=98×6=588

共=98+588=686

简记为：

同理：

答：到年末总共有（27682 574402只）老鼠。

小知识：

这是日本的《尘劫记》中的一个问题。说这27682 574402只老鼠，后一只咬着前一只的尾巴可以在日本到中国的海面上排成一条线，从而渡海到中国唐朝。如果设一只老鼠有4寸长，那么这个总长度将远远超过中日间的海面长度。由此看来，日本人当时还不知道从日本到中国的海面应有多长。

10.长寿面的传说

相传，汉武帝崇信鬼神又相信相术。一天与众大臣聊天，说到人的寿命长短时，汉武帝说：《相书》上讲，人的人中越长，寿命越长，若人中1寸长，就可以活到100岁。坐在汉武帝身边的大臣东方朔听后就大笑了起来，众大臣莫名其妙，都怪他对皇帝无礼。汉武帝问他笑什么，东方朔解释说：“我不是笑陛下，而是笑彭祖。人活100岁，人中1寸长，彭祖活了800岁，他的人中就长8寸，那他的脸有多长啊。”

众人听后也大笑起来，看来想长寿，靠脸长长点是不可能的，但可以想个变通的办法表达一下自己长寿的愿望。脸即面，那“脸长即面长”，于是人们就借用长长的面条来祝福长寿，称为吃“长寿面”。

长寿面以拉面为最长。我国“拉面大王”的厉恩海在重庆的齐鲁美食节上大显身手，他先把1千克面粉拉长到1.265米，这时面的长度是1.265米。然后对折（成为1扣），再把它拉长到1.265米，这时面的长度是2.530米，然后再对折（成为2扣），再把它拉长到1.265米，这时面的长度是5.060米，……，短短10分钟，一共拉了21扣。有人计算过，拉出的面丝总长达到2652 897.28米，相当于万里长城中从山海关到嘉峪关的距离！更为叫绝的是25根面丝可同时穿过同一根针眼！

那么，拉面大王共拉出多少万根面丝？

解析：每对折一次，面丝成倍增长，一共拉了21扣，所以共拉出面丝

答：拉面大王共拉出209万根面丝。

11.国王与麦粒

古时候，有个国王很喜欢下棋，他身边的官宦贵族中有不少棋迷和高手，但都“敌不过”国王的棋术。

有一天，国王派人写了一张告示贴在城门上。大意是：国王酷爱下棋，天下百姓不分贵贱，谁能在棋桌上赢过国王，国王愿意重奖。

有位乞丐模样的人刚好路过此地，看完告示后，当即表示愿意与国王比赛下棋，原来他是位家乡发生水灾后逃荒出来的秀才。

国王的棋盘摆放在大厅内，召来文武百官，一则为国王观战助威，二则作为下棋比赛的裁判。国王与秀才的比赛开始了！国王胸有成竹，秀才不慌不忙。棋过三步，秀才的棋艺开始显露，国王渐渐招架不住。一个时辰过去，国王连输三盘，谦和地说：“这位秀才的棋术果然不凡，我甘拜下风。请问：你想要我奖励给你什么呢？是金银财宝，还是土地城池？”

秀才笑了笑，答道：“我一不要钱财，二不要土地，只需奖我一些麦粒，以救故乡灾民百姓的生命！”

国王说：“那你打算要多少麦粒呢？”

秀才指了指棋盘说：“这张棋盘共有64个格，请你在第一格内放1个麦粒，依次下去，每一格内放的麦粒数是前一格的2倍，一直放满棋盘的64个格。陛下，您就把这些麦粒奖给我吧！”

国王听罢，满口应允，并立即吩咐手下，按秀才的要求去仓库取麦粒。开始，用麻袋一袋袋取，后来用马车一车车拉，雇来几十个人轮流数麦粒。数过的麦粒按秀才的吩咐，直接派人运回故乡，分给灾区百姓。结果，仓库里的麦粒很快运光了，后来又用金银财宝顶替，结果，64格棋盘还没有按秀才的要求“填满”。这到底是怎么回事呢？

解析：

这些麦粒，看起来不多，事实上，按照秀才的要求，在第一格内放1个麦粒，在第二格内放1×2=2个麦粒，在第三格内放2×2=4个麦粒，在第四格内放2×2×2=8个麦粒，……，在第六十四格内放麦粒。再把所有格内麦粒相加。

也就是1+2的1次幂+2的2次幂+2的三次幂，……，一直加到2的63次幂，而这些数算起来已经超过10位了。

= 20+21+22+23+…263

=18446 744073 709551 615

哇！是个20位数！据专家统计每个麦粒平均质量大约是41.9毫克，那么18446 744073 709551 615麦粒的质量就是：

18446 744073 709551 615×41.9≈772918 576688 430221 668.5（毫克）≈772918 576688 430（千克）≈772918 576688（吨）

答：国库里没有772918 576688吨粮食。