1.1 概率、几率及期望
在统计学里，概率（Probability）和几率（Odds）是两个很基础的概念，用来描述某件事情发生的可能性，但是两者又有实质性区别。期望就更为重要了，本章我们先弄清基础理论中的基础概念。
1.1.1 概念及定义
概率描述的是某事件A发生的次数与所有事件发生的次数之比。公式为
图1-2
概率P是一个0~1的实数，P＝0表示一定不会发生，P＝1表示一定会发生。
几率（Odds）指的是事件发生的概率与事件不发生的概率之比。公式为
以掷骰子为例，如图1-2所示。掷出点数是6的概率为
，出现其他点数的概率为
，根据几率的计算公式，可以得到掷出点数为6这一事件的几率为
更通俗的解释：平均来看，掷出6点的成功概率和失败概率之比为1:5。和概率论中的其他概念一样，几率也是在赌博中产生的一个概念。假设甲乙二人掷骰子对赌，若甲出1块钱赌掷6点，乙需要投注5块钱才能保证公平。
为什么这里要把这两个概念单独讲下呢，一是为了进行一个清晰的区分；二是因为几率涉及两个概率的比较，在类似逻辑回归等分类模型中扮演着重要的角色。
1.1.2 概率和几率的关系
为了直观地比较两者之间的关系，表1-1展示了概率0.01~0.99与几率及Logit的数据对应关系。
表1-1
注意
（1）当概率P＝0.5时，几率等于1（等分）。
（2）概率P的变化范围是[0，1]，而几率的变化范围是[0，＋∞）。
（3）为了让几率的值也能够以0为中心点，可以对几率取自然对数，也就是将概率P从范围[0，1]映射到（－∞，＋∞）。几率的对数称为Logit（即逻辑回归模型中的Logit，逻辑回归模型将在第2部分详细讲解）。
把表1-1的内容在笛卡儿坐标系中进行展示。可以直观地看到一条规律的曲线，而且以坐标（0.5，0）沿纵轴反对称，如图1-3和图1-4所示。
Logit的一个很重要的特性就是没有上限和下限——这为建模带来了极大的方便。同时可以看到在P＝0.5时，Logit＝0。我们将会在逻辑回归中学习Logit的使用。
1.1.3 期望值
图1-3
图1-4
喜欢玩德州扑克的朋友，在看一些教学视频时，经常听到一句话：“如果想在德州扑克中长期盈利，那么一定要选择＋EV的决策”，这里的EV就是Expected Value，也就是期望值。
对于期望值可以简单理解为：在长期游戏过程中，某个行为平均每次带来的收益。
＋EV也就是期望值大于0，说明这个行为在长期游戏中能获得收益。
－EV也就是期望值小于0，说明这个行为在长期游戏中损失筹码。
一个简单的EV计算公式如图1-5所示，即
EV＝Win%×Win＄－Lost%×Lost＄
其中，Win%为获胜概率；Win＄为获胜时的收益（钱）；Lost%为失败概率；Lost＄为失败时的损失（钱）。
图1-5
为简单起见，下面用抛硬币的例子进行说明。如果抛到人像面，将赢3元。如果抛到数字面，将损失1元。
利用上面的公式：EV＝50%×3－50%×1＝1，也就是说，长期情况下玩家在这个游戏中平均每次赢1元。需要注意的是，这个EV值必须要用“长期”这个限定条件，不能单次计算。也就是说，期望值永远关注的是长期结果，而不是短期。
上面是用一个简单事件的两种可能性作为例子，那么如果这种事件有很多种可能性时，平均如何来表示呢？表示的方法就是每一种事件的概率乘以对应事件的结果，然后进行累加（加权平均）。
E（x）＝∑P（x）×x
比如拿掷骰子来说，如果掷出几点就可以赢几块钱的话，因为每个点被掷出的概率是1/6，所以最终的数学期望是：
，在掷了无数次后，每一次投掷收到的钱平均是3.5元，最终总的钱数是3.5×次数。
如果x是连续变量，那么把∑变成积分符号∫即可。
总结一下：期望值是对随机变量（随机变量的定义见1.2节内容）中心位置的一种度量。是试验中每次可能的结果乘以其结果的概率的总和。期望值亦是随机变量概率的平均值。特别需要记住的是“长期”这个条件。
期望值会用在很多地方，比如信息论里面的信息熵（见第3讲）等。