2.4　地球重力场边值问题理论

2.4.1　物理大地测量边值问题

由于地球内部密度分布的复杂性和未知性，根据重力场定义无法从理论上通过密度的空间积分直接确定地球外部重力场，根据高斯定理可知，通过某一表面上的信息即可确定该表面以外的调和函数。物理大地测量边值问题（Geodesy Boundary Value Problem，GBVP）应运而生，奠定了构建地球表面及其外部重力场的数学理论基础。边值问题可简单描述为：在大地水准面或地球的自然表面以及其他球面、椭球面上给定边值条件及相应的边值（重力向量和重力位测量值及其泛函），确定该边界面及其外部引力位，使其满足边值条件并在无限空间内是调和函数。边值问题根据不同的边界条件可分为第一、第二、第三外部边值问题，即相应的Dirichlet外部边值问题、Neumamn外部边值问题和Robin外部边值问题，下面对三类边值问题的数学原理做简要介绍。

（1）Dirichlet外部边值问题（狭义利赫外部边值问题）

已知边界面上所求调和函数的极限值，B=E（常），即V（Q）=F（Q），当边界为半径为R的球面时，则可表示为

其球面解即为Poisson积分：

（2）Neumamn外部边值问题（牛曼外部边值问题）

已知边界面上调和函数法向n的导数值，即当边界为半径为R的球面时，则可表示为

根据球谐函数展开理论及面球函数的级数表达可得该Neumamn外部边值问题的球面解为（3）Robin外部边值问题（混合外部边值问题）已知调和函数及其法向导数的线性组合在边界面上的值，即当边界为半径为R的球面时，则可表示为

其球面解为

式中，αR-β（n+1）=R2，大地测量基本微分方程就是满足第三外部边值条件，所以使用边界面上的重力异常确定地球重力场及大地水准面属于此类问题。

无论何类边值问题，在实际应用中的前提都有两个：一是该边界面已知；二是调和函数及其泛函在该边界面上已知。因此，结合地球重力场特点，根据不同的边界面形成了不同类型的实际应用的边值问题，如Stokes边值问题、Molodensky边值问题和Bjerhammar边值问题等。