1.7 动态系统的耦合

动态系统的一个核心属性是耦合的概念。如果一个动态系统明确依赖于第二个动态系统，则称两个动态系统是耦合的。考虑两个变量x和y，其动态方程由和描述。这里，y通过f_y耦合到x。

耦合不同的动态系统在机器人技术中是非常有用的。例如，它允许不同肢体或不同的机器人同步移动。图1.12显示了连接仿人机器人三个肢体的示例[94]。机械臂和手的动作与眼睛的运动相耦合。这种耦合受到自然界中类似耦合的启发。例如，当我们伸手去拿一个物体时，我们的眼睛先于手动，并引导手臂运动，同样，手指伴随着手臂运动，一旦手到达目标，手指就会同步闭合。在机器人技术中，这种眼睛-手臂-手指的耦合可以通过控制机器人眼睛、手臂和手指的三个动态系统之间的两两耦合来建模。这里，x、y和z分别表示控制眼睛、手臂和手指的变量。眼睛引导所有动作，其动力学独立于其他肢体，即。手臂随眼睛移动，手指随手臂移动。系统的耦合可以使它们同时收敛于同一点（例如，在目标x*处）。有关如何创建此类耦合的示例，请参见练习1.6。

图1.12 通过依靠每个肢体的动态系统来耦合眼睛、手臂和手指的运动，简化了控制，并确保在物体突然移动时，眼睛、手臂和手指同步移动，从而在其新位置上同时靠近物体（图a）。它还允许对路径中移动的障碍物做出快速反应（图b）

这提供了针对扰动的自然鲁棒性。例如，当移动物体时，眼睛跟踪并锁定物体新的位置。当手臂与眼睛耦合时，它会同步移动到物体的新位置。如果物体不断移动，眼睛和手臂会与物体同步移动。手指还与手臂运动相耦合，手臂位于物体位置时手指才会靠近物体。当物体移动时，手指将保持打开状态，直到手臂最终到达物体的新位置（详见第6章）。

练习1.6 设两个变量x∈ℝ和y∈ℝ与下面的动力学耦合：

1.在点（1，1）T和（-1，-1）T处初始化时，绘制系统x，y的积分路径表示不同的α值。

2.系统是否接受固定点？

3.它在这个固定点上稳定吗？如果稳定，这是否取决于α的值？

耦合动态系统还可以使机器人的运动与我们无法控制的外部物体的动力学同步。假设有一个外部物体的动力学模型。我们可以设置在物体y*的积分路径上的一点与这个物体相交。然后，可以将机械臂的动作与物体的动作耦合起来，即。这样，机械臂的动作就会停止在预计的拦截点y*，即lim_t→∞x=x*=y*和f_x（x*，y*）=0。当机械臂在y*点接触到物体时，这种耦合动作可以扩展为继续与物体一起移动。要做到这一点，必须平稳地从一个在y*稳定的系统切换到随系统速度稳定的系统。要做到这一点，我们可以转移到二阶系统并设置。这种系统如图1.13所示，其中机械臂在半空中捕捉飞行物体，第7章对此进行了详细描述。

图1.13 为了到达并跟踪物体的运动，结合了两个动态系统。一个将手臂朝向物体，而另一个将速度向量与物体的速度向量对齐